Ответ однозначен: да, в параллелограмме противолежащие стороны всегда параллельны и равны. Это одно из ключевых определяющих свойств фигуры. Ниже разберёмся почему это так, как это доказывается и как применяется на практике.
Что такое параллелограмм?
Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого каждая пара противоположных сторон параллельна и, как следствие, равна.
Символически:
AB ∥ CD и AD ∥ BC
при этом AB = CD и AD = BC.
Доказательство свойства (краткий вариант)
- Диагональ делит на два треугольника.
Проведём диагональ AC. Она делит параллелограмм ABCD на △ABC и △CDA. - Докажем равенство треугольников.
- ∠BAC = ∠DCA (накрест лежащие при параллельных AB ∥ CD и секущей AC).
- ∠BCA = ∠DAC (аналогично при AD ∥ BC).
- AC – общая сторона.
По второму признаку равенства треугольников △ABC = △CDA.
Из равенства треугольников следует AB = CD и AD = BC, а также AB ∥ CD и AD ∥ BC.
Частные случаи
| Фигура | Противолежащие стороны | Дополнительно |
|---|---|---|
| Прямоугольник | равны и параллельны | Все углы 90° |
| Ромб | равны и параллельны | Все стороны равны |
| Квадрат | равны и параллельны | Совмещает свойства прямоугольника и ромба |
Как это использовать при решении задач
Пример 1. Найдите периметр.
В параллелограмме ABCD известно AB = 7 см, AD = 5 см.
Так как противоположные стороны равны, периметр:
P = 2·(7 см + 5 см) = 24 см.
Пример 2. Докажите, что четырёхугольник является параллелограммом.
Достаточно показать, что две противоположные стороны параллельны и равны. Это признак параллелограмма, который следует из обсуждаемого свойства.
Да, противолежащие стороны параллелограмма всегда параллельны и равны.
Это базовое свойство лежит в основе множества теорем, формул и практических задач по геометрии. Запомнив его, вы получаете надёжный «ключ» к решению многих упражнений 8–11 классов.