Среди множества геометрических утверждений школьного курса одно из самых «хитрых» звучит так: «Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является одновременно его высотой и медианой». Давайте разберёмся, да или нет это утверждение, и почему оно справедливо лишь при одном важном условии.
Что такое равнобедренный треугольник?
Равнобедренный треугольник, это треугольник, у которого две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья, неравная им,, основанием. Углы при основании тоже равны между собой, что часто используется в доказательствах.
Определения основных линий
- Биссектриса, луч, делящий угол на два равных.
- Высота — перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону (или её продолжение).
- Медиана — отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны.
Ключевая теорема
Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC и BC, основание. Проведём из вершины A биссектрису AD к основанию BC.
Доказательство совпадения трёх линий
- Биссектриса AD делит угол ∠BAC пополам. По определению ∠BAD = ∠CAD.
- Треугольники ABD и ACD имеют:
- AB = AC (по условию равнобедренности),
- AD — общая сторона,
- ∠BAD = ∠CAD (из п. 1).
- По признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними треугольники ABD и ACD равны.
- Из равенства треугольников следует:
- BD = DC, а значит AD является медианой;
- ∠ADB = ∠ADC = 90°, а значит AD является высотой;
А если биссектриса проведена к боковой стороне?
Если же мы проведём биссектрису из одного из углов при основании (например, из ∠ABC), она не будет одновременно высотой и медианой. Проверьте это сами на чертеже: высота и медиана из той же вершины пересекут боковую сторону в разных точках.
Полезное наблюдение
Свойство, когда три важные линии совпадают, называют осевой симметрией равнобедренного треугольника. Ось симметрии проходит через вершину и основание, деля фигуру на две зеркально равные половины.
Ответ на вопрос: да, биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины между равными сторонами к основанию, является одновременно его высотой и медианой. Это одно из фундаментальных свойств равнобедренного треугольника, которое активно применяется в решении задач и доказательстве теорем.