Краткий ответ: Нет, вписанный угол не равен центральному, но между ними есть строгая закономерность.
Базовые определения
Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность по двум точкам (стороны называются хордами).
Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности, а стороны проходят через две точки на окружности.
Основная теорема
Теорема. Вписанный угол равен половине центрального угла, который опирается на ту же дугу.
2.1 Иллюстрация
- Обозначим центр окружности точкой O.
- Обозначим точки на окружности A, B, C, где C — вершина вписанного угла ACB.
- Тогда вписанный угол ∠ACB и центральный угол ∠AOB опираются на одну и ту же дугу AB.
Следовательно, по теореме:
∠ACB = ½ ∠AOB
Доказательство
3.1 Случай 1: Центр лежит на одной из сторон вписанного угла
Пусть точка O лежит на стороне CB вписанного угла ACB.
Треугольник AOC равнобедренный (OA = OC как радиусы).
Тогда ∠OAC = ∠OCA = α.
Внешний угол ∠AOB = ∠OAC + ∠OCA = 2α.
С другой стороны, ∠ACB = α.
Следовательно, ∠ACB = ½ ∠AOB.
3.2 Случай 2: Центр лежит внутри вписанного угла
Через точку C проведём диаметр CD.
Тогда по случаю 1:
∠ACD = ½ ∠AOD и ∠DCB = ½ ∠DOB.
Складывая получаем:
∠ACB = ∠ACD + ∠DCB = ½(∠AOD + ∠DOB) = ½ ∠AOB.
3.3 Случай 3: Центр лежит вне вписанного угла
Аналогично случаю 2, но теперь:
∠ACB = ∠DCB – ∠DCA = ½(∠DOB – ∠DOA) = ½ ∠AOB.
Практические следствия
- Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой.
- Вписанный угол, опирающийся на пол-окружности (полуокружность), равен 90° (прямой угол).
- Если центральный угол равен 180°, соответствующий вписанный угол равен 90°.
| Центральный угол, ° | Вписанный угол, ° |
|---|---|
| 30 | 15 |
| 60 | 30 |
| 90 | 45 |
| 180 | 90 |
| 360 | 180 (вырожденный случай) |
Частые ошибки
- Путать вписанный угол с центральным и считать их равными.
- Забывать, что теорема работает только при условии, что оба угла опираются на одну и ту же дугу.
- Игнорировать случай, когда центр лежит вне вписанного угла.
Мини-тест
Вопрос: Центральный угол равен 120°. Чему равен вписанный угол, опирающийся на ту же дугу?
Ответ: 120° ÷ 2 = 60°.
Таким образом, формула ∠вписанный = ½ ∠центральный — ключ к решению большинства задач на окружность и позволяет легко переходить от одного вида угла к другому.