Одним из самых элегантных и практически важных результатов планиметрии является утверждение о вписанном угле‚ «смотрящем» на диаметр окружности․
Краткий ответ на вопрос из заголовка – да‚ такой угол всегда прямой и равен 90°․ Ниже мы подробно разберём‚ почему это так‚ как это доказывается и где применяется․
Что такое вписанный угол?
Вписанным углом называют угол‚ вершина которого лежит на окружности‚ а стороны пересекают эту окружность‚ «опираясь» на дугу между точками пересечения․
- Вершина – точка на самой окружности․
- Стороны – хорды‚ соединяющие вершину с двумя другими точками на окружности․
- Опираемая дуга – часть окружности‚ заключённая между концами этих хорд․
Формулировка ключевой теоремы
Теорема (теорема Фалеса):
Любой вписанный угол‚ опирающийся на диаметр окружности‚ является прямым и равен 90°․
Доказательство за 3 шага
- Построение․
Пусть AB – диаметр окружности с центром O‚ а точка C – произвольная точка на окружности‚ отличная от A и B․
Тогда ∠ACB – вписанный угол‚ опирающийся на диаметр AB․ - Центральный угол․
Рассмотрим центральный угол ∠AOB․ Так как AB – диаметр‚ то дуга AB равна полуокружности‚ то есть 180°․
Следовательно‚ ∠AOB = 180°․ - Свойство вписанного угла․
По общему свойству вписанных углов‚ вписанный угол равен половине центрального угла‚ опирающегося на ту же дугу․
Значит‚ ∠ACB = ½ · ∠AOB = ½ · 180° = 90°․ Что и требовалось доказать․
Иллюстрация
Ниже схематическое изображение окружности с диаметром AB и произвольной точкой C․ Угол ∠ACB всегда будет прямым․
Практические следствия и применение
- Прямоугольный треугольник: вершины любого прямоугольного треугольника можно поместить на окружности так‚ что гипотенуза станет диаметром․
- Геометрические построения: применяется для отыскания центра окружности по двум точкам и прямому углу․
- Инженерия и черчение: используется в задачах на построение прямых углов с помощью циркуля и линейки․
- Задачи ЕГЭ и ОГЭ: часто встречается в качестве ключевого элемента доказательства или вычисления․
Вписанный угол‚ опирающийся на диаметр окружности‚ обязательно равен 90°․ Это утверждение – одно из наиболее известных следствий теоремы Фалеса‚
которое широко используется в школьной и высшей геометрии‚ инженерных расчётах и олимпиадных задачах․