Дата публикации: 29 апреля 2026 г.
Что такое вписанный угол и центральный угол
Вписанный угол, это угол, вершина которого лежит на самой окружности, а стороны пересекают окружность, образуя хорду.
Центральный угол — это угол, вершина которой находится в центре окружности, а стороны пересекают окружность, образуя радиусы.
Ключевое различие
- Вершина вписанного угла на окружности.
- Вершина центрального угла в центре.
Основная теорема: величина вписанного угла
Теорема: Величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается.
Формула:
∠AKB = ½ · ⌒AB
где ⌒AB, градусная мера дуги.
Следствие 1: вписанные углы на одной дуге
Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой.
Следствие 2: вписанный угол на диаметре
Вписанный угол, опирающийся на диаметр (полуокружность), равен 90°.
Итак, «вписанные углы окружности равны», да или нет?
- Да, если они опираются на одну и ту же дугу.
- Нет, если они опираются на разные дуги.
Примеры ЕГЭ: разбор типовых задач
Пример 1
В окружности отмечены точки K, L, M, N. Углы ∠KML = 35° и ∠KNL опираются на одну и ту же дугу KL.
Вопрос: найдите ∠KNL.
Решение: ∠KNL = ∠KML = 35°, поскольку обе вершины лежат на окружности и обе опираются на ⌒KL.
Пример 2
Точки A, B, C делят окружность на дуги ⌒AB = 120°, ⌒BC = 80°, ⌒CA = 160°.
Вопрос: найдите ∠ACB.
Решение: ∠ACB = ½ · ⌒AB = ½ · 120° = 60°.
Сводная таблица свойств
| Свойство | Краткая формулировка |
|---|---|
| Теорема | ∠вписанный = ½ · ⌒дуга |
| Следствие 1 | Одинаковые дуги ⇒ одинаковые углы |
| Следствие 2 | Диаметр ⇒ 90° |
Чек-лист для ЕГЭ: как не ошибиться
- Проверь, что угол действительно «вписан».
- Найди дугу, на которую опирается угол.
- Используй правило ½ · ⌒дуга.
- Сравнивай углы, только если они опираются на одну дугу.
Да, вписанные углы равны, если и только если они опираются на одну и ту же дугу. Во всех остальных случаях их величины, как правило, различны. Запомните формулу «вписанный = ½ центрального» и спокойно решайте любые задания ЕГЭ на эту тему.
Успехов на экзамене!