В школьном курсе геометрии тема «внешние углы треугольника» вызывает множество вопросов․
Один из самых частых звучит так: равен ли внешний угол треугольника смежному с ним внутреннему углу?
Разберёмся подробно, опираясь на аксиомы, доказательства и наглядные примеры․
Что такое внешний угол треугольника?
Внешний угол треугольника, это угол, смежный с одним из его внутренних углов и образованный одной стороной треугольника и продолжением другой стороны․
- Каждая вершина треугольника имеет по два равных внешних угла, в сумме составляющих 360°․
- Внешний и соответствующий внутренний угол смежные, то есть их сумма всегда равна 180°․
Краткий ответ на вопрос «да или нет»
Нет․ Внешний угол треугольника не равен смежному с ним внутреннему углу, если мы говорим о числовых значениях:
он дополняет его до 180°, следовательно они всегда различаются (кроме вырожденного случая 90°+90°, который невозможен в треугольнике)․
Доказательство формальной неравенства
Пусть у треугольника ABC внутренний угол при вершине C равен γ․ Тогда соответствующий внешний угол φ получается продолжением стороны BC․ По определению смежных углов:
φ + γ = 180°, отсюда φ = 180° – γ․
Таким образом, φ = γ только если γ = 90°, но в треугольнике дополнительный внутренний угол тоже должен быть 90°, что невозможно (сумма всех трёх внутренних углов уже 180°)․ Значит, равенства никогда не достигается․
Внешний угол равен сумме двух других внутренних углов
Классическая теорема о внешнем угле треугольника гласит:
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, с ним не смежных․
Доказательство:
- Сумма внутренних углов треугольника ∠A + ∠B + ∠C = 180°․
- Внешний угол φ = 180° – ∠C․
- Подставляем сумму: φ = ∠A + ∠B, что и требовалось доказать․
Насколько внешний угол больше внутреннего?
Поскольку φ = ∠A + ∠B, а ∠A + ∠B < 180°, внешний угол всегда строго больше любого из не-смежных внутренних углов․ Это используют при решении задач на неравенства в 7-9 классах;
| Что сравниваем | Равенство | Комментарий |
|---|---|---|
| Внешний угол и смежный внутренний | Нет | Сумма 180°, но каждый < 180° |
| Внешний угол и сумма двух других внутренних | Да | Теорема о внешнем угле |
| Внешний угол и любой не-смежный внутренний | Внешний больше | Следствие из предыдущего |
Практический пример
Дано: треугольник DEF, ∠D = 40°, ∠E = 60°, ∠F = 80°․
- Внешний угол при вершине F равен 40° + 60° = 100°․
- Смежный внутренний угол ∠F = 80°․
- 100° ≠ 80°, но 100° + 80° = 180°․
Итак, отвечая на вопрос «Внешний угол треугольника равен внутреннему углу смежному с ним: да или нет?» — однозначно: нет․ Внешний угол всегда дополняет смежный внутренний до 180°, а сам по себе равен сумме двух других внутренних углов треугольника․ Запомнив это простое правило, вы легко справитесь с любыми задачами на тему внешних углов в 7–9 классах․