Теорема о внешнем угле треугольника – одна из базовых в планиметрии, изучаемая в 7‑8 классах. Она позволяет быстро находить неизвестные углы и решать широкий спектр задач. В данном материале мы подробно разберём, что такое внешний угол, формулировку теоремы, её доказательство, примеры применения и типичные ошибки.
Что такое внешний угол треугольника?
Пусть дан треугольник ABC. Продлим одну из его сторон, например, сторону AB за точку B до любой точки D. Угол CBD, образованный продлённой стороной BD и соседней стороной BC, называется внешним углом треугольника при вершине B. Аналогично определяются внешние углы при вершинах A и C.
Формулировка теоремы
Теорема о внешнем угле треугольника гласит:
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Иными словами, если ∠CBD – внешний угол при вершине B, то
∠CBD = ∠A + ∠C.
Доказательство теоремы
3.1 Геометрическое доказательство (через линейность углов)
- В треугольнике ABC известно, что сумма внутренних углов равна 180°:
- Внешний угол ∠CBD и внутренний угол ∠B образуют прямую, поэтому они супплементны (в сумме дают 180°):
- Вычтем из второго равенства первое (или подставим ∠B = 180° – ∠A – ∠C) и получим:
- Следовательно, внешний угол равен сумме двух неприкасных внутренних углов.
∠A + ∠B + ∠C = 180°.
∠CBD + ∠B = 180°.
∠CBD = 180° – ∠B = 180° – (180° – ∠A – ∠C) = ∠A + ∠C.
3.2 Доказательство через построение параллельных линий
Продлим сторону AB до точки D. Проведём через вершину C прямую, параллельную AB. Полученный угол при вершине C будет равен ∠A (по свойству параллельных линий). Аналогично, угол при вершине A будет равен ∠C. Сумма этих двух углов образует внешний угол ∠CBD.
Примеры применения
- Пример 1. В треугольнике ABC известны углы ∠A = 45° и ∠C = 70°. Найдите внешний угол при вершине B.
- Пример 2. В треугольнике ABC внешний угол при вершине C равен 130°, а внутренний угол ∠A = 40°. Найдите угол ∠B.
- Пример 3 (задача). В треугольнике ABC внешние углы при вершинах A и B равны 120° и 130° соответственно. Найдите внутренний угол ∠C.
По теореме: ∠CBD = 45° + 70° = 115°.
Сначала найдём ∠B через теорему: ∠C_{внешний} = ∠A + ∠B ⇒ 130° = 40° + ∠B ⇒ ∠B = 90°.
Внешний угол при A: ∠A_{вн} = ∠B + ∠C = 120°.
Внешний угол при B: ∠B_{вн} = ∠A + ∠C = 130°.
Сложим два уравнения: (∠B+∠C) + (∠A+∠C) = 250° ⇒ (∠A+∠B) + 2∠C = 250°.
Но ∠A+∠B+∠C = 180°, значит ∠A+∠B = 180° – ∠C.
Подставим: (180° – ∠C) + 2∠C = 250° ⇒ 180° + ∠C = 250° ⇒ ∠C = 70°.
Свойства внешнего угла
- Внешний угол больше любого внутреннего угла, не смежного с ним (следствие из теоремы).
- Сумма внешних углов треугольника, взятых по одной стороне, всегда равна 360°.
- Если все три внешних угла известны, то каждый из них определяет два внутренних угла, а значит и сам треугольник полностью задаётся.
Типичные ошибки учащихся
- Смещение углов. Часто путают «смежный» и «не смежный» угол, беря вместо ∠A + ∠C сумму ∠A + ∠B. Помните, что внешний угол не «делит» угол у своей вершины.
- Игнорирование направления. При построении внешнего угла важно продлить именно ту сторону, которая образует угол с соседней стороной, а не любую произвольную.
- Неправильное применение к невыпуклым треугольникам. Теорема остаётся верна, но внешний угол может быть получен как 180° + (внутренний угол) в случае «внутреннего» внешнего угла (рефлексного). В школьных задачах обычно рассматривается «малый» внешний угол (<180°).
Теорема о внешнем угле треугольника является истинной: внешний угол действительно равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Это простое, но мощное утверждение служит фундаментом для решения широкого спектра геометрических задач, помогает проверять ответы и развивать пространственное мышление.
Список литературы и ресурсов
- К. Г. Васильева «Геометрия. 7‑9 классы», М.: Просвещение, 2023.
- В. П. Савельев «Элементы планиметрии», СПб: БХВ-Петербург, 2021.
- Онлайн‑ресурсы: Khan Academy – Triangles, Википедия: внешний угол треугольника.