Внешний угол треугольника больше не смежного с ним внутреннего угла да или нет

Один из самых популярных «ловушечных» вопросов в школьной геометрии звучит так:
«Верно ли, что внешний угол треугольника всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним?»
Краткий ответ – нет, не всегда․ Ниже – подробное объяснение, теоремы, наглядные примеры и типичные ошибки․

Что такое внешний угол треугольника?

Внешний угол образуется при продолжении одной из сторон треугольника за её вершину․
Именно он и является смежным с соответствующим внутренним углом треугольника․

• У треугольника всего три пары «внутренний + внешний» углов․
• Внешний и смежный внутренний угол всегда в сумме дают 180° (как любые смежные углы)․
• Сумма внешних углов треугольника (по одному у каждой вершины) равна 360°․

Ключевая теорема: свойство внешнего угла

Теорема․
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, ему не смежных․

Обозначения:
— α, β, γ – внутренние углы треугольника;
— γ′ – внешний угол при вершине C, то есть γ′ = 180° – γ․

По теореме: γ′ = α + β․

Следствие для сравнения

Из γ′ = α + β очевидно, что γ′ > α и γ′ > β, потому что любой внутренний угол положителен (0° < α,β < 180°)․
Но это верно только по отношению к углам, ему не смежным!

Почему же «да или нет»?

Фраза «внешний угол больше не смежного с ним внутреннего угла» легко превращается в ложное утверждение, если забыть про смежный внутренний угол․

Ошибка формулировки

Неверная интерпретация:
«Внешний угол больше любого другого внутреннего угла треугольника» – ложь, если под «другим» понимается в т․ч․ и смежный․
Ведь смежный внутренний угол наоборот дополняет внешний до 180°, а не меньше его․

Чёткая формулировка – уже истина

Правильная формулировка:
«Внешний угол треугольника больше каждого из двух внутренних углов, не смежных с этим внешним» – истина․

Иллюстрация на числах

Возьмём остроугольный треугольник:

• ∠A = 40°
• ∠B = 60°
• ∠C = 80°

Внешний угол при вершине C:
γ′ = 180° – 80° = 100°․

Сравниваем:
— 100° > 40° (истина)
— 100° > 60° (истина)
— но 100° не сравниваем с 80°, потому что 80° – смежный угол, а не «не смежный»․

Теперь тупоугольный треугольник:

• ∠A = 20°
• ∠B = 30°
• ∠C = 130°

Внешний угол при вершине C: γ′ = 180° – 130° = 50°․

Снова сравниваем только с 20° и 30°:
50° > 20° и 50° > 30° – оба неравенства выполняются․

Мини-чек-лист для ученика

1. Уточняй, какие именно углы называют «не смежными»․
2. Не забывай: внешний угол + смежный внутренний = 180°․
3. Используй формулу γ′ = α + β для быстрой проверки․

Геометрические формулировки требуют точности․
Коротко:
— Да, внешний угол больше двух не-смежных внутренних;
— Нет, внешний угол не больше смежного с ним внутреннего․
Запомните разницу – и «ловушки» на ЕГЭ и олимпиадах больше не страшны!