Короткий ответ: нет. Совпадение длин (модулей) векторов является необходимым‚ но недостаточным условием их равенства.
Что такое вектор в геометрии?
Вектором называют направленный отрезок‚ то есть отрезок для которого указано‚ где его начало‚ а где конец. У вектора есть:
- Длина (модуль) — неотрицательное число‚ равное расстоянию между началом и концом.
- Направление — линия‚ на которой лежит вектор‚ и ориентация от начала к концу.
Формальное определение равенства векторов
Два вектора равны‚ когда выполняются одновременно два условия:
- Их длины равны:
|a| = |b|. - Векторы сонаправлены‚ то есть лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону.
Пример на координатах
На плоскости:
Вектор a = (3‚ 4) → |a| = √(3²+4²) = 5 Вектор b = (–3‚ –4) → |b| = √(9+16) = 5
Длины равны‚ но направления противоположны‚ поэтому a ≠ b.
Частые заблуждения
- «Длины равны → значит‚ векторы равны». Ошибка: к вектору
(3‚4)можно построить бесконечно много векторов той же длины‚ но разных направлений. - «Векторы параллельны → значит‚ равны». Неверно: параллельность обеспечивает лишь совпадение линии действия‚ но не длины и ориентации.
| Условие | Достаточно? |
|---|---|
| Лишь длины равны | Нет |
| Лишь направления совпадают | Нет |
| Длины равны и направления совпадают | Да |
Мини-задача для самопроверки
Даны векторы a = (2‚ 1) и b = (4‚ 2). Равны ли они?
Решение (кликните)
Векторы коллинеарны: b = 2·a‚ значит‚ направления совпадают.
Но длины: |a| = √5‚ |b| = √20 = 2√5. Так как длины не равны‚ векторы не равны.