Каждый, кто начинает изучать геометрию, рано или поздно сталкивается с теоремой о большей стороне треугольника. Казалось бы, утверждение звучит просто: «В любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона». Но да или нет? Нужно ли доказательство, и как оно выглядит? В этой статье мы разберёмся подробно, приведём строгое доказательство, последовательные шаги, рисунки и даже подборку задач для самостоятельной проверки.
Формулировка теоремы
Теорема (о большей стороне и большем угле).
- В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
- Обратно: против большего угла лежит большая сторона.
Эти два утверждения взаимно обратны и доказываются отдельно, но логически связаны.
Почему это важно?
Теорема лежит в основе:
- неравенства треугольника (|AB| + |BC| > |AC| и т.п.);
- сравнения отрезков в задачах на перпендикуляры и наклонные;
- доказательства признаков равенства и неравенства фигур;
- задач о вписанных окружностях и биссектрисах.
Подготовительные факты
Доказательство опирается на уже пройденные в 7-м классе утверждения:
- Свойство смежных углов: сумма смежных углов равна 180°.
- Признаки равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
- Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
- Теорема о внешнем угле: внешний угол треугольника больше любого угла, не смежного с ним.
Доказательство части 1: «Против большей стороны, больший угол»
Дано:
В треугольнике АВС выполняется |AC| > |AB|.
Надо доказать:
∠B > ∠C.
Ход доказательства:
- На стороне AC отложим отрезок AD = AB (точка D лежит между A и C).
Это возможно, потому что |AC| > |AB|. - Рассмотрим равнобедренный треугольник ABD. В нём углы при основании равны:
∠ABD = ∠ADB. - Угол ADB — внешний для треугольника BDC, поэтому он больше угла ∠BCD = ∠C.
- Тогда ∠ABD = ∠ADB > ∠C.
- Угол ABC содержит угол ABD, следовательно ∠ABC ≥ ∠ABD > ∠C.
Итак, ∠B > ∠C, что и требовалось доказать.
Доказательство части 2: «Против большего угла, большая сторона»
Используем метод от противного.
В треугольнике АВС ∠B — наибольший.
|AC| — наибольшая сторона.
- Предположим противное: пусть |AC| не наибольшая. Тогда, например, |AB| ≥ |AC|.
- По только что доказанной части 1 против большей стороны AB лежит больший угол ∠C.
- Но по условию ∠B — наибольший, значит ∠B ≥ ∠C, что противоречит предыдущему пункту.
- Следовательно, наше предположение неверно, и |AC|, наибольшая сторона.
Визуальный пример