Ответ на вопрос однозначен: в любой равнобедренной трапеции диагонали равны по длине․
Это факт является одним из важнейших свойств данного типа четырёхугольников и часто используется при решении задач ЕГЭ и олимпиад по геометрии․ Ниже приведено строгое доказательство‚ а также дополнительные полезные свойства и формулы․
Что такое равнобедренная трапеция?
Равнобедренная трапеция – это трапеция‚ у которой боковые стороны равны․
Иными словами‚ если AB и CD – основания‚ а BC и AD – боковые стороны‚ то
BC = AD․
Строгое доказательство равенства диагоналей
Пусть ABCD – равнобедренная трапеция‚ в которой AB ∥ CD‚ а BC = AD․ Докажем‚ что AC = BD․
Шаг 1․ Введём обозначения
- ∠ADC = ∠BCD = α (углы при основании CD равны в равнобедренной трапеции);
- CD – общая сторона треугольников ACD и BDC;
- AD = BC – по определению равнобедренной трапеции․
Шаг 2․ Рассмотрим два треугольника
Сопоставим треугольники ACD и BDC:
- CD – общая сторона․
- AD = BC – боковые стороны равнобедренной трапеции․
- ∠ADC = ∠BCD – углы при основании равны․
Шаг 3․ Применим признак равенства треугольников
По первому признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (SAS) треугольники ACD и BDC равны․
Следовательно‚ AC = BD‚ что и требовалось доказать․
Обратное утверждение
Интересно‚ что обратное также верно:
Если в трапеции диагонали равны‚ то эта трапеция равнобедренная․
Это даёт признак равнобедренной трапеции‚ часто используемый в задачах․
Дополнительные свойства равнобедренной трапеции
- Углы при каждом основании равны: ∠DAB = ∠CBA и ∠ADC = ∠BCD․
- Диагонали пересекаются и делятся на части пропорционально основаниям․
- Если диагонали перпендикулярны‚ то площадь трапеции равна квадрату высоты: S = h²․
- Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон: AC² + BD² = AB² + BC² + CD² + AD²․
В равнобедренной трапеции это упрощается: 2AC² = AB² + CD² + 2BC²‚ так как AC = BD․
Формула длины диагонали через стороны
Пусть a и b – длины оснований‚ c – длина боковой стороны‚ тогда диагональ d выражается как:
d = √[(ab + c²) + (a – b)²/4]․
Формула выводится с помощью теоремы Пифагора и свойств равнобедренной трапеции․
Примеры решения задач
Пример 1 (ЕГЭ)
В равнобедренной трапеции основания равны 10 и 26‚ боковая сторона – 10․ Найдите диагональ․
Решение: Подставим в формулу:
d = √[(10·26 + 10²) + (26 – 10)²/4] = √[(260 + 100) + 256/4] = √[360 + 64] = √424 = 2√106․
Пример 2 (проверка признака)
Диагонали трапеции равны 13 см каждая․ Одна из сторон – 5 см‚ вторая – 12 см‚ третья – 14 см․ Докажите‚ что трапеция равнобедренная․
Идея: Используйте обратное утверждение: так как диагонали равны‚ трапеция обязана быть равнобедренной․ Дополнительно можно вычислить четвёртую сторону через соотношение и убедиться в равенстве боковых сторон․
Помните также обратное: равенство диагоналей является признаком равнобедренной трапеции․