Одним из самых часто встречающихся сюрпризов в школьной стереометрии является форма основания призмы․ Ученики справедливо ассоциируют «четырёхугольную призму» с прямоугольным параллелепипедом, однако в основании такой призмы может лежать и ромб․ Ниже мы разберёмся, почему это возможно, какие формулы при этом применяются и как решать типичные задачи ЕГЭ на этот сюжет․
Что такое «четырёхугольная призма»?
Определение․ Четырёхугольной называется призма, у которой основанием служит произвольный четырёхугольник․ Если боковые рёбра перпендикулярны основанию, призма называется прямой; если же основание – правильный четырёхугольник (ромб, квадрат, прямоугольник), то геометрические свойства сильно упрощаются․
Ромб в роли основания: в чём особенность?
Геометрические свойства ромба
- Все четыре стороны равны: AB = BC = CD = DA = a․
- Диагонали d1 и d2 перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам․
- Площадь ромба: Sосн = ½ d1d2 = a² sin φ, где φ – угол между смежными сторонами․
Почему допустимо использовать ромб?
Согласно определению призмы, единственное условие к основанию – быть многоугольником․ Ромб является частным случаем четырёхугольника, следовательно, да, ромб вполне может лежать в основании четырёхугольной призмы․
Как найти объём и площади такой призмы?
Формулы
| Величина | Формула |
|---|---|
| Объём V | V = Sосн · h, где h – высота призмы (равна длине бокового ребра при прямой призме)․ |
| Площадь боковой поверхности Sбок | Sбок = Pосн · h, где Pосн – периметр ромба (4a)․ |
| Площадь полной поверхности Sполн | Sполн = 2Sосн + Sбок |
Пример расчёта
Пусть ромб в основании имеет диагонали d1 = 6 см и d2 = 8 см, а высота призмы h = 10 см․
- Sосн = ½ · 6 · 8 = 24 см²․
- Pосн = 4a․ Найдём сторону ромба по теореме Пифагора:
a = √[(d1/2)² + (d2/2)²] = √[3² + 4²] = 5 см ⇒ Pосн = 4·5 = 20 см․
- Sбок = 20 · 10 = 200 см²․
- V = 24 · 10 = 240 см³․
- Sполн = 2·24 + 200 = 248 см²․
Решение типовой ЕГЭ-задачи
Условие
В основании прямой четырёхугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит ромб ABCD․ Диагонали ромба равны 6 см и 8 см, боковое ребро равно 10 см․ а) Докажите, что прямые A₁C и BD перпендикулярны․ б) Найдите объём призмы․
Решение
- Доказательство перпендикулярности A₁C ⟂ BD
- BD – диагональ ромба, лежащая в основании․
- A₁C – пространственная диагональ призмы․
- В ромбе диагонали перпендикулярны: AC ⟂ BD․
- Так как призма прямая, A₁A ⟂ (ABC), значит A₁A ⟂ BD․
- Поскольку BD перпендикулярно сразу двум пересекающимся прямым AC и A₁A, то BD ⟂ плоскость AA₁C, а следовательно, BD ⟂ A₁C․ □
- Объём
Используем уже полученные данные: V = 240 см³ (пункт 3․2)․
Частые ошибки и советы
- Ошибка: путать площадь ромба с произведением диагоналей без коэффициента ½․
Исправление: всегда помните формулу S = ½ d₁d₂․ - Ошибка: считать, что в основании «обязан» быть квадрат․
Исправление: проверяйте условие задачи – ромб допустим и часто используется в ЕГЭ․ - Совет: для быстрого подсчёта стороны ромба по диагоналям пользуйтесь соотношением a = √[(d₁/2)² + (d₂/2)²]․
Ответ на вопрос «В основании четырёхугольной призмы может лежать ромб да или нет?» – да, может․ Ромб является полноправным основанием, и все универсальные формулы стереометрии (объём, площади, свойства диагоналей) применимы без ограничений․ Умение работать именно с ромбом в подобных задачах – один из надёжных способов набрать дополнительные баллы на ЕГЭ по математике․