В школьной геометрии часто возникает вопрос: сколько частей делит плоскость угол? Ответ зависит от того, что именно мы считаем «углом» и какие объекты (лучи, прямые) участвуют в построении. В этой статье мы разберём все возможные варианты, приведём формальные определения, теоремы и типичные задачи, которые встречаються на ЕГЭ и ОГЭ.
Что такое угол?
Угол в евклидовой геометрии – это пара лучей OA и OB, выходящих из одной точки O (вершины угла). Лучи направлены в одну сторону от вершины и не продолжаются в обратную сторону.
- Если угол измеряется в диапазоне 0° < α < 180°, его называют острым или тупым (в зависимости от величины).
- Угол, равный 180°, — прямая (или «развернутый» угол).
- Если 180° < α < 360°, угол называется рефлектным (выпуклым) углом.
Важно: лучи ограничены только в сторону от вершины, поэтому они не образуют полной линии.
Угол как часть плоскости
Угол α определяет две области плоскости:
- Внутренняя часть – область, «заполненная» лучами, измеряемая от OA до OB по меньшему пути.
- Внешняя часть – всё, что остаётся за пределами внутренней области.
Таким образом, любой угол (независимо от величины) делит плоскость на две части. Ни одна из этих областей не пересекает лучи (они служат границами).
Когда появляется четыре части?
Четыре части образуются, когда границы угла «продляются» в обе стороны, то есть вместо лучей рассматриваются полные прямые l₁ и l₂, проходящие через одну точку. Пересечение двух прямых делит плоскость на четыре угольных сектора (квадранты). Это часто путают с углом, но это уже два угла, каждый из которых образован парой лучей, направленных в противоположные стороны.
Слева – угол (два луча); справа – две пересекающиеся прямые.
Пример задачи
Условие: Через точку O проведены две прямые l₁ и l₂, образующие угол α = 70°. Сколько частей делит плоскость эта система?
Решение: Поскольку каждая прямая имеет два направления, их пересечение образует четыре сектора. Угол α и его вертикальный дополнительный угол (180° − α) – это две из четырёх областей. Следовательно, ответ: четыре части.
Формальное доказательство
Два луча → две части
Пусть OA и OB – лучи, исходящие из O. Рассмотрим любую точку P плоскости, не лежащую на лучах. Проведём луч OP. Поскольку луч OP может либо попасть в внутреннюю часть угла (если угол < 180°), либо в внешнюю, каждая точка однозначно относится к одной из двух областей. Таким образом, плоскость разбивается ровно на две непересекающиеся части.
Две полные прямые → четыре части
Пусть l₁ и l₂ – две разные прямые, пересекающиеся в точке O. Каждая прямая делит плоскость на две половины (полуплоскости). Пересечение двух «делений» образует их декартово произведение:
Полуплоскость₁ ∩ Полуплоскость₂, Полуплоскость₁ ∩ (не‑Полуплоскость₂), (не‑Полуплоскость₁) ∩ Полуплоскость₂, (не‑Полуплоскость₁) ∩ (не‑Полуплоскость₂).
Эти четыре множества непересекаются и покрывают всю плоскость, следовательно, получаем четыре части.
Специальные случаи
- Прямая (угол = 180°) – всё ещё два полупространства.
- Нулевой угол (α = 0°) – лучи совпадают; в этом случае граница вырождается в одну лучевую полупряму, но плоскость всё равно делится на две части (по одну сторону и по другую).
- Случай совпадения лучей в противоположных направлениях (т.е. рассматриваем как две прямые) – получаем четыре части.
Как это проверяется на экзаменах?
На ЕГЭ по математике часто встречаются задачи типа:
- «Сколько частей делит плоскость угол α, если известна величина α?» – правильный ответ: две.
- «Через точку O проведены две линии, образующие угол 45°. Сколько частей делит плоскость их система?» – правильный ответ: четыре.
- «Внутри угла построен биссектрис, сколько областей образуется?» – каждый дополнительный луч увеличивает число областей на один (если лучи не совпадают), так что ответ = количество лучей + 1.
Ключевой совет: чётко различайте «луч» и «прямая». Если в условии явно указано «луч», «угол», «мера угла», отвечаем «две части». Если же говорится о «двух пересекающихся прямых», то ответ «четыре части»;
Практические задачи для самопроверки
Задача 1
Через точку O проведены три луча, образующие углы 30°, 70° и 260°. Сколько частей делит плоскость эта система лучей?
Ответ: Три луча образуют три зоны (каждый луч добавляет одну новую область). Значит, плоскость делится на три части.
Задача 2
Две прямые пересекаются под углом 120°. Сколько частей делит плоскость их система?
Ответ: Как показано в разделе 3.2, две пересекающиеся прямые делят плоскость на четыре части, независимо от величины угла.
Задача 3
Внутри угла α = 90° проведена его биссектриса. Сколько частей получаем?
Решение: Биссектриса добавляет один луч, поэтому получаем три области.
Итак, ответ на главный вопрос «Угол делит плоскость на четыре части – да или нет?» выглядит так:
- Если под «углом» подразумеваются два луча, то нет – плоскость делится только на две части.
- Если же границы угла «продлены» в обе стороны, то получаются две полные прямые, и тогда да – плоскость делится на четыре части.
Запомните главное правило: луч – две части, прямая – четыре части. Это поможет избежать типичных ошибок на экзаменах.
Статья подготовлена 28 апреля 2026 г. в соответствии с актуальными материалами по стереометрии и подготовке к ЕГЭ.