Теорема это утверждение которое принимается без доказательства да или нет

С этим вопросом сталкиваются почти все, кто начинает изучать математику․ Казалось бы, одно слово «теорема» встречается в учебниках постоянно, но до сих пор возникает путаница: теорему принимают без доказательства, как аксиому, или всё-таки нужно обязательно доказать? В этой статье разберёмся до мелочей и никогда больше не спутаем․

Краткий ответ

Нет, теорема не принимается без доказательства․
В математике именно теорема требует строгого доказательства, основанного на аксиомах и ранее доказанных утверждениях․

Что такое аксиома?

Аксиома, это исходное, не требующее доказательства положение, которое принимают за истину по договорённости․ Из аксиом затем выводят все остальные утверждения․

• Пример из евклидовой геометрии: «Через любые две различные точки проходит прямая, и притом только одна»․
• Примет из арифметики: «a + b = b + a», аксиома коммутативности сложения․

Что такое теорема?

Теорема — это утверждение, истинность которого должна быть логически обоснована с помощью уже принятых аксиом, определений и ранее доказанных теорем․

• Классический пример: Теорема Пифагора — «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов»․ Доказательств более 400, и ни одно из них не заменяет само утверждение․
• Теорема о бесконечности простых чисел — доказывается методом от противного․

Где путают?

Интуитивно кажется, что если утверждение «очевидное», то можно обойтись без доказательства․ Однако в математике очевидность не заменяет строгость:

• До XIX века геометрия считала «очевидным» пятый постулат Евклида (параллельный), но потом выяснилось, что можно построить неевклидовы геометрии, где он неверен․
• В теории множеств утверждение «всякое множество линейно упорядочено» казалось «разумным», пока не привело к парадоксам․

Что ещё бывает: лемма, следствие, гипотеза

Лемма

Это вспомогательная теорема, которая нужна для доказательства более крупного результата․

• Пример: Лемма о куриных ножках в теории чисел используется в доказательстве основной теоремы арифметики․

Следствие

Следствие (или королларий) — утверждение, которое получается почти сразу из уже доказанной теоремы․

• Из теоремы Пифагора следует, что диагональ квадрата со стороной 1 равна √2․

Гипотеза

Это предположение, которое ещё не доказано․ Если гипотезу докажут, она станет теоремой․

• Гипотеза Римана, гипотеза Пуанкаре (доказана Перельманом в 2003 году и стала теоремой)․

Теоремы Гёделя о неполноте

Австрийский математик Курт Гёдель в 1931 году показал, что:

1. Любая достаточно мощная и непротиворечивая формальная система либо неполна, либо противоречива․
2. Внутри такой системы всегда найдётся утверждение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть средствами самой системы․

Это значит: даже если мы возьмём набор аксиом и будем строго всё доказывать, всё равно найдутся «недоступные» истины․ Но это не отменяет необходимости доказывать теоремы — наоборот, подчёркивает важность строгого доказательства․

Как выглядит «правильный» процесс

Аксиомы → Определения → Леммы → Теоремы → Следствия

1. Берём аксиомы (без доказательств)․
2. Вводим определения новых объектов․
3. Доказываем леммы․
4. На основе лемм и аксиом строим теоремы․
5. Из теорем выводим следствия․

Если вам попадётся вопрос на экзамене или в тесте:
«Теорема — это утверждение, которое принимается без доказательства?»
Смело отвечайте: «Нет, это аксиома․ Теорема обязательно требует доказательства»․

Дата подготовки материала: