Этот вопрос возникает у каждого, кто в первый раз сталкивается с темой параллельных прямых и секущей. Казалось бы, всё просто, но в учебниках часто встречаются формулировки, которые вызывают путаницу. В этой статье мы разберёмся, всегда ли сумма внутренних односторонних углов равна 180°, и при каких условиях это утверждение справедливо.
Что такое «внутренние односторонние углы»?
Для начала вспомним определение.
- Две прямые (назовём их a и b) пересекаются третьей прямой — секущей с.
- При этом образуются восемь углов.
- Внутренние односторонние углы — это два угла, которые:
- Лежат между прямыми a и b (то есть «внутри» полосы).
- Находятся по одну сторону от секущей.
Пример на рисунке:
Внутренние односторонние углы — это, например, ∠3 и ∠5 или ∠4 и ∠6.
Основная теорема
Утверждение
Если две прямые параллельны, то сумма внутренних односторонних углов, образованных при пересечении их секущей, равна 180°.
Обратное утверждение
Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Это, признак параллельности прямых, который активно используется в геометрии.
Доказательство
Опираемся на аксиомы и ранее доказанные теоремы.
Шаг 1: Обозначим углы
Начертим две параллельные прямые a ∥ b и секущую c.
Обозначим внутренние односторонние углы как ∠1 и ∠2.
Шаг 2: Используем свойство накрест лежащих углов
Поскольку a ∥ b, внутренние накрест лежащие углы равны. Пусть ∠1 и ∠3 — накрест лежащие. Тогда ∠1 = ∠3.
Шаг 3: Учтём, что ∠2 и ∠3 — смежные
∠2 и ∠3 образуют развёрнутый угол: ∠2 + ∠3 = 180°.
Но ∠1 = ∠3, значит ∠1 + ∠2 = 180°. Что и требовалось доказать.
Результат: при параллельных прямых сумма внутренних односторонних углов всегда равна 180°.
Может ли сумма быть не равна 180°?
Да, если прямые не параллельны.
В этом случае односторонние углы могут как быть равны 180°, так и отличаться. Поэтому сумма 180° — это критерий параллельности, а не универсальное правило для любых двух прямых.
- Да, если речь идёт о параллельных прямых, то сумма внутренних односторонних углов всегда равна 180°.
- Нет, если прямые не параллельны, сумма может быть любой.
Таким образом, правильно говорить так: «Сумма внутренних односторонних углов равна 180° тогда и только тогда, когда прямые параллельны».