В школьных учебниках часто встречаются вопросы, в которых нужно определить, как правильно
записываются тригонометрические функции для различных углов. Один из самых распространённых
мифов – это убеждение, что синусом прямого угла является отношение прилежащего
катета к противолежащему. Давайте разберёмся, почему такое утверждение неверно,
какие определения действительно лежат в основе синуса и как правильно пользоваться
тригонометрией.
Что такое тригонометрические функции?
Тригонометрические функции – это отношения между сторонами прямоугольного треугольника,
а также координатами точек на единичной окружности. Они позволяют переводить
угловые величины в числовые значения и обратно.
Определения на единичной окружности
Если рассмотреть единичную окружность (окружность радиуса 1, центр в начале координат) и
провести луч, образующий угол α с положительным направлением оси OX, то
координаты точки пересечения луча и окружности имеют вид:
- cos α – абсцисса (координата x) точки;
- sin α – ордината (координата y) точки.
Эти определения одинаково работают для всех углов, в т.ч. для углов более 90°,
отрицательных углов и углов, измеряемых в радианах.
Синус в прямоугольном треугольнике
Когда речь идёт о прямоугольном треугольнике, синус угла α определяется как
отношение противолежащего катета к гипотенузе:
sin α = (противолежащий катет) / (гипотенуза)
Аналогично:
- cos α = (прилежащий катет) / (гипотенуза);
- tan α = (противолежащий катет) / (прилежащий катет);
- cot α = (прилежащий катет) / (противолежащий катет) (это и есть обратная к тангенсу).
Пример для угла 30°
В треугольнике с углом 30°:
- противолежащий катет = 1;
- гипотенуза = 2;
- прилежащий катет = √3.
Тогда sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tan 30° = 1/√3.
Что происходит с синусом прямого угла (90°)?
Для угла α = 90° (π/2 радиан) ситуация особая:
- Противолежащий катет = гипотенуза (они совпадают по длине);
- Прилежащий катет = 0 (поскольку он «лежит» вдоль одной из сторон, образующих прямой угол).
Следовательно:
sin 90° = (противолежащий катет) / (гипотенуза) = 1
cos 90° = (прилежащий катет) / (гипотенуза) = 0
tan 90° = (противолежащий катет) / (прилежащий катет) = ∞ (не определено в обычных числах).
Почему «прилежащий к противолежащему» – это не синус?
Отношение прилежащего катета к противолежащему называется котангенсом:
cot α = (прилежащий катет) / (противолежащий катет)
Для α = 90° котангенс равен 0, потому что прилежащий катет = 0, а противолежащий ≠ 0.
Таким образом, утверждение «синусом прямого угла называется отношение прилежащего
катета к противолежащему» полностью противоположно действительности: это не синус,
а котангенс, и даже в случае прямого угла он не равен 1, а равен 0.
Быстрый ответ на вопрос «да или нет»
Ответ: нет. Синусом прямого угла является
отношение противолежащего катета к гипотенузе (что равно 1), а отношение
прилежащего катета к противолежащему – это котангенс, который для 90° равен 0.
Как запомнить правильные определения?
- СИНУС (sin) – противолежащий / гипотенуза. Запомнить можно фразой
«Синус – Сток идёт к вершине» (противолежащий к углу). - КОСИНУС (cos) – прилежащий / гипотенуза. «Ко‑синус – Компань
синуса, стоит рядом». - ТАНГЕНС (tan) – противолежащий / прилежащий. «Танец – шаг вперёд,
против (противолежащий) к основанию (прилежащий)». - КОТАНГЕНС (cot) – прилежащий / противолежащий. «Кот — обратный
танцу».
Тригонометрические функции имеют строгие математические определения, которые не
меняются в зависимости от того, насколько «удобно» кажется определённое соотношение.
Синус угла всегда – это отношение противолежащего катета к гипотенузе (или ординаты точки
на единичной окружности). Поэтому утверждение, что синусом прямого угла является
отношение прилежащего катета к противолежащему, ложно. Правильный ответ – нет.
Источники
Для более глубокого изучения темы рекомендуется обращаться к школьным учебникам по
геометрии и тригонометрии, а также к материалам по единичной окружности
(см. раздел «Тригонометрические функции на единичной окружности»).