Одним из самых часто встречающихся вопросов в школьной и вузовской стереометрии является вопрос о симметриях параллелепипеда․ Часто математическую формулировку «середина диагонали является центром симметрии» путают с выражением «середина диагонали является осью симметрии»․ В данной статье мы раз и навсегда разберёмся, верно ли второе утверждение и почему оно неверно в классическом смысле․
Что такое «ось симметрии»?
Ось симметрии, это прямая, относительно которой геометрическое тело отображается само на себя при повороте на 180° (точнее, при симметрии вращения вокруг этой прямой)․
Иначе говоря, если провести ось и повернуть тело вокруг неё на 180°, то тело совпадёт само с собой․
Что такое «центр симметрии»?
Центр симметрии, это точка, относительно которой тело симметрично само себе при центральной симметрии (то есть при отражении относительно этой точки)․
Для любой точки A тела существует точка A’, симметричная ей относительно данного центра, принадлежащая телу․
Параллелепипед и его диагонали
У любого параллелепипеда (включая прямоугольный и куб) четыре пространственные диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам․ Эту точку называют:
- точкой пересечения диагоналей;
- центром описанного параллелепипеда параллелепипеда;
- центром симметрии параллелепипеда․
Почему «середина диагонали» не является осью симметрии?
Потому что точка ≠ прямая․
Слово «середина» обозначает точку, а ось симметрии — это прямая․
Поэтому формально утверждение «середина диагонали является осью симметрии» неверно․
А какие же оси симметрии есть у параллелепипеда?
Прямоугольный параллелепипед (все углы 90°)
- Если все три ребра разные, то у него три оси симметрии․ Каждая ось проходит через середины противоположных рёбер․
- Если все три ребра равны (куб), то у него 9 осей симметрии (три через середины рёбер, шесть через вершины и центры граней)․
Косой (наклонный) параллелепипед
У общего косого параллелепипеда осей симметрии нет, но он всё равно имеет центр симметрии — ту самую точку пересечения диагоналей․
- Центром симметрии любого параллелепипеда является точка пересечения его диагоналей․ ✅
- Осью симметрии сама по себе «середина диагонали» быть не может, потому что это точка, а не прямая․ ❌
- У прямоугольного параллелепипеда, от 3 до 9 осей симметрии (в зависимости от равенства рёбер)․
- У косого параллелепипеда осей симметрии нет, но центр симметрии есть всегда․
Таким образом, если в контрольной вам встретится фраза «середина диагонали параллелепипеда является осью симметрии», смело отвечайте: «Нет, это центр симметрии, а не ось!»