Отношение площадей подобных фигур равно коэффициенту подобия да или нет

Одним из самых распространённых заблуждений при изучении подобия фигур является утверждение: «Отношение площадей подобных фигур равно коэффициенту подобия». Давайте разберёмся, почему это не так, и какую формулу следует применять на самом деле.

Что такое подобие?

Две геометрические фигуры называются подобными, если между их точками можно установить взаимно-однозначное соответствие такое, что отношение расстояний между любыми двумя точками одной фигуры равно отношению расстояний между соответствующими точками второй фигуры.

Для треугольников это означает:

• соответственные углы равны;
• соответственные стороны пропорциональны.

Число k, равное отношению сходственных сторон, называют коэффициентом подобия.

Как подобие влияет на периметр и площадь?

Периметр

Если коэффициент подобия равен k, то периметр второй фигуры в k раз больше периметра первой:

P₂ = k · P₁

Площадь

Вот здесь и кроется ошибка. Отношение площадей не равно коэффициенту k, а равно его квадрату:

S₂ = k² · S₁

Доказательство для треугольников

Рассмотрим два подобных треугольника ABC и A₁B₁C₁ с коэффициентом подобия k.

1. Пусть основание AB = a, высота h.
2. Тогда основание A₁B₁ = k·a, высота h₁ = k·h.
3. Площадь первого треугольника: S = ½·a·h.
4. Площадь второго треугольника: S₁ = ½·(k·a)·(k·h) = k²·(½·a·h) = k²·S.

Следовательно, S₁ : S = k².

Ответ на вопрос

Нет, утверждение «Отношение площадей подобных фигур равно коэффициенту подобия» неверно. Правильное соотношение:

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

Мини-тест для закрепления

1. Два треугольника подобны с коэффициентом 3. Во сколько раз площадь большего больше площади меньшего?
   
   Ответ: в 9 раз.
2. Коэффициент подобия двух кругов равен 0,5. Как относится площадь меньшего к площади большего?
   
   Ответ: 0,5² = 0,25, т.е. в 4 раза меньше.

Запомните это простое правило, и вы никогда не спутаете линейные и площадные коэффициенты на экзаменах!