При изучении геометрии, особенно темы о параллельных прямых и секущей, у многих школьников возникает логичный вопрос: односторонние углы равны или нет? Однозначный ответ на этот вопрос — нет, односторонние углы чаще всего не равны. Однако в геометрии важно понимать исключения и точные определения. Давайте разберем эту тему подробно, чтобы раз и навсегда избавиться от ошибок.
Что такое односторонние углы?
Для начала вспомним базовые понятия. Представьте себе две прямые (назовем их a и b), которые пересекает третья прямая — секущая (прямая c). При этом пересечении образуется восемь углов.
Односторонние углы — это пара углов, которые:
- Лежат по одну сторону от секущей (отсюда и название — «односторонние»);
- Находятся внутри области, заключенной между двумя заданными прямыми (если речь идет о внутренних односторонних углах), или снаружи (если речь о внешних односторонних углах).
Чаще всего в школьном курсе речь идет о внутренних односторонних углах. На чертеже они выглядят как углы, расположенные «рядом» друг с другом по одну сторону от секущей линии.
Главное правило: сумма односторонних углов
Самое главное правило, которое нужно запомнить: если прямые параллельны, то сумма односторонних углов равна 180 градусам.
Это значит, что если один односторонний угол равен 60 градусам, то второй будет равен 120 градусам (так как 60 + 120 = 180). О каком либо равенстве в данном случае речи не идет. Углы равны быть не могут, за исключением одного частного случая, о котором мы поговорим чуть ниже.
Признак параллельности прямых
Свойство суммы односторонних углов работает и в обратную сторону. Это важнейший признак параллельности прямых:
Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусам, то эти прямые параллельны.
В каких случаях односторонние углы всё-таки равны?
Поскольку сумма односторонних углов при параллельных прямых равна строго 180°, мы можем найти единственный случай, когда оба этих угла будут равны друг другу. Это простейшее математическое уравнение:
Пусть угол 1 = x, угол 2 = x.
Тогда x + x = 180°
2x = 180°
x = 90°
Следовательно, односторонние углы могут быть равны только в том случае, если оба они прямые (равны 90 градусам).
Когда это происходит? Это происходит тогда, когда две прямые пересекаются секущей под прямым углом. То есть секущая является перпендикуляром к обеим прямым, а сами прямые, согласно теореме, параллельны друг другу.
С чем часто путают односторонние углы?
Ошибочное утверждение «односторонние углы равны» чаще всего возникает из-за путаницы с другими видами углов при параллельных прямых и секущей. Чтобы не путаться, всегда держите в голове шпаргалку:
- Накрест лежащие углы — лежат по разные стороны от секущей. Они всегда равны (если прямые параллельны).
- Соответственные углы — лежат по одну сторону от секущей, но один находится во внутренней области между прямыми, а другой во внешней (как бы «соответствуют» друг другу на разных прямых). Они тоже всегда равны (если прямые параллельны).
- Односторонние углы — лежат по одну сторону от секущей и оба внутри (или оба снаружи) прямых. Их сумма равна 180°, и равны они бывают только при величине 90°.
Пример из практики: трапеция
Отличным примером применения этого правила является трапеция. Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие — нет (боковые стороны).
Представьте трапецию, где основания параллельны, а одна из боковых сторон является секущей. Допустим, угол при нижнем основании (острый угол) равен 82 градусам. Этот угол и угол при верхнем основании (соединенные той же боковой стороной) являются односторонними при параллельных прямых (основаниях) и секущей (боковой стороне).
Как найти второй угол? Мы знаем, что сумма односторонних углов равна 180 градусам. Значит:
180° ― 82° = 98°.
Как видим, углы 82° и 98° не равны. Если бы мы ошибочно подумали, что односторонние углы равны, мы бы получили неверный ответ.
Полная теорема об углах при параллельных прямых
Для полноты картины сформулируем полную теорему (и свойства, и признаки):
Свойства (если прямые параллельны, то…):
- Накрест лежащие углы равны;
- Соответственные углы равны;
- Сумма односторонних углов равна 180°.
Признаки (если выполняется условие, то прямые параллельны):
- Если накрест лежащие углы равны;
- Если соответственные углы равны;
- Если сумма односторонних углов равна 180°.