Натуральные числа не являются целыми да или нет

Каждый день мы пользуемся цифрами, в голове прокручивая счёт до зарплаты, время до будильника или километраж маршрута. Однако за этой привычной рутиной скрываются точные определения, без которых математика рассыпалась бы, как карточный домик. Сегодня разберёмся: входят ли натуральные числа в множество целых? Ответ может удивить даже тех, кто уверен, что «знает математику со школы».

Что такое натуральные числа?

Натуральные числа — это самые «естественные» счётные единицы, которые появились у человечества одними из первых. Они отвечают на вопрос «Сколько?» и начинаются с единицы (в российской традиции) или с нуля (по ISO 80000-2). Формально множество натуральных чисел обозначается символом ℕ и выглядит так:

• по российскому стандарту: ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, …}
• по международному ISO: ℕ₀ = {0, 1, 2, 3, 4, …}

Независимо от договорённости, у натуральных чисел нет дробной части и знака «минус».

Что такое целые числа?

Целые числа расширяют натуральный ряд в обе стороны: они включают положительные натуральные числа, их противоположные отрицательные пары и ноль. Обозначаются символом ℤ (от нем. Zahlen — «числа»):

ℤ = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}

Любое целое число можно представить как разность двух натуральных. Например, –5 = 2 – 7, а 0 = 3 – 3.

Сравниваем множества: диаграмма Эйлера в помощь

Визуально это выглядит так:

┌────────────────────────────┐
│ Целые числа ℤ │
│ ┌────────────────────────┐ │
│ │ Натуральные числа ℕ │ │
│ │ (если ℕ = {1,2,3…}) │ │
│ │ ∪ │ │
│ │ {0} │ ││ └────────────────────────┘ │
│ … –3 –2 –1 0 1 2 3 …│
└────────────────────────────┘

Из схемы видно: все натуральные числа без исключения уже есть внутри множества целых. Добавляются только ноль и отрицательные значения.

Короткий ответ: да или нет?

Нет, натуральные числа не являются отдельной внешней группой по отношению к целым, потому что:

1. Подмножество: ℕ ⊂ ℤ (натуральные числа — часть целых).
2. Теория множеств: если каждый элемент множества ℕ принадлежит ℤ, то ℕ не «отделяется» от ℤ.
3. Логическая формулировка: высказывание «∀n ∈ ℕ ⇒ n ∈ ℤ» — истинно.

То есть каждое натуральное число является целым, но не каждое целое является натуральным.

Минусы и ноль: где грань?

Натуральные числа — это «дети» множества целых чисел.
Они внутри, а не снаружи. Поэтому отвечать на вопрос «натуральные не являются целыми, да или нет?» нужно категорично:

«Нет, натуральные числа являются целыми!»

Следующий раз, когда вы будете считать часы до отпуска или деньги в кошельке, вспомните: каждая из этих цифр уже «паспортизирована» в большом семействе целых чисел;