Любые два равных вектора коллинеарны да или нет

Вопрос‚ который часто сбивает с толку школьников и студентов первого курса: «Если два вектора совпадают по длине‚ обязательно ли они коллинеарны?» Короткий ответ — да‚ обязательно. Ниже разберёмся почему‚ какие подводные камни есть в формулировке и когда «равенство» векторов может быть истолковано по-разному.

Что такое коллинеарные векторы?

Определение. Два ненулевых вектора a и b называются коллинеарными‚ если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Иначе говоря‚ существует число k‚ такое что a = k·b.

Коллинеарность не требует одинакового направления: коэффициент k может быть как положительным (векторы сонаправлены)‚ так и отрицательным (векторы противоположно направлены).

Три варианта «равенства» векторов

В разных курсах под «равенством» могут подразумевать разное:

1. Как свободные векторы в геометрии. Два вектора считаются равными‚ если они имеют одинаковую длину и одинаковое направление независимо от точки приложения. Поскольку направление одинаково‚ они лежат на параллельных прямых (или даже на одной)‚ а значит коллинеарны.
2. Как закреплённые (ориентированные отрезки). Если под «равенством» понимается совпадение начала и конца‚ то два вектора вообще совпадают как ориентированные отрезки. В этом случае они‚ конечно‚ лежат на одной прямой‚ и коллинеарность очевидна.
3. Векторы-столбцы в линейной алгебре. Здесь «a = b» означает покомпонентное равенство‚ что автоматически влечёт a = 1·b‚ а значит коллинеарность с коэффициентом k = 1.

А что‚ если длины равны‚ но векторы не «равны»?

Иногда спрашивают: «Допустим‚ у нас два вектора одинаковой длины‚ но разного направления. Они коллинеарны?» Ответ — нет‚ потому что условие a = k·b выполняется только при k = ±1 и только если они лежат на одной прямой.
Значит‚ равенство длин ещё не гарантирует коллинеарности. Вопрос в статье формулируется именно как «любые два равных вектора»‚ а не «любые два вектора равной длины». В первом случае коллинеарность вытекает из определений‚ во втором — нет.

Утверждение.
Пусть два вектора a и b равны в смысле свободных векторов (то есть совпадают по длине и направлению). Тогда они обязательно коллинеарны‚ причём a = 1·b.
Если же под «равными» понимаются лишь векторы одинаковой длины‚ коллинеарность уже не гарантируется.

Частые ошибки и как их избежать

• Путать «равенство» со «всего лишь равенством модулей».
  Совет: всегда уточняйте‚ что именно подразумевают под «равными».
• Забывать‚ что коллинеарность допускает противоположное направление.
  Совет: проверяйте знак коэффициента k.
• Спутать коллинеарность с компланарностью.
  Совет: коллинеарность — это частный случай компланарности‚ но не наоборот.

Краткий «шпаргалка»