Иногда ученика 7-го класса может поставить в тупик вопрос:
«А если взять равносторонний треугольник со стороной 3 см и другой со стороной 7 см, они ведь разные – значит, не подобны?»
На первый взгляд размеры действительно отличаются, но в геометрии «подобие» – это не про равенство, а про пропорциональность․ Давайте разберёмся подробно․
Что такое равносторонний треугольник?
Равносторонний треугольник (его ещё называют правильным) – это треугольник, у которого все три стороны равны, а все три угла по 60°․
- Стороны: AB = BC = CA․
- Углы: ∠A = ∠B = ∠C = 60°․
Следовательно, любые два равносторонних треугольника уже имеют одинаковые углы․ Это и является ключевым признаком подобия․
Определение подобия треугольников
Два треугольника подобны, если:
- у них соответственные углы равны, и
- соответственные стороны пропорциональны․
Для равносторонних треугольников первое условие всегда выполняется (все углы 60°)․
Остаётся проверить второе․
Доказательство: любые два равносторонних треугольника подобны
Шаг 1․ Углы
Пусть ΔABC и ΔA′B′C′ – произвольные равносторонние треугольники․
Тогда ∠A = ∠B = ∠C = 60° и ∠A′ = ∠B′ = ∠C′ = 60°․
Следовательно, все соответственные углы равны․
Шаг 2․ Стороны
Пусть сторона первого треугольника равна a, а второго – a′․
Тогда отношение соответственных сторон постоянно:
a : a′ = b : b′ = c : c′ = a : a′
Следовательно, все стороны пропорциональны с коэффициентом подобия k = a/a′․
Значит, любые два равносторонних треугольника подобны․
Практические следствия
- Коэффициент подобия равен отношению любых двух соответственных сторон․
- Площади таких треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:
S/S′ = k²․ - Радиусы описанных (R) и вписанных (r) окружностей также пропорциональны:
R/R′ = r/r′ = k․
Пример для 7–8 класса
Задача: Даны два равносторонних треугольника․ Сторона первого 6 см, второго 9 см․ Найдите коэффициент подобия и отношение площадей․
Решение:
- Коэффициент подобия: k = 6/9 = 2/3․
- Отношение площадей: S/S′ = (2/3)² = 4/9․
Ответ: k = 2/3; S : S′ = 4 : 9․
Да, любые два равносторонних треугольника подобны․
Все они имеют одинаковые углы (по 60°) и пропорциональные стороны, а значит удовлетворяют обоим признакам подобия․ Разница лишь в масштабе – как у двух фотографий одного и того же здания, но разного размера․