Вопрос о том, лежат ли любые четыре точки в одной плоскости, является одним из базовых и самых важных в курсе стереометрии. Короткий ответ на этот вопрос — нет. Утверждение о том, что абсолютно любые четыре точки пространства являются компланарными (то есть лежат в одной плоскости), неверно. Давайте разберем подробно, почему это так, и обратимся к аксиомам геометрии.
Что говорят аксиомы стереометрии?
Чтобы понять, почему четыре точки не обязаны лежать в одной плоскости, нужно вспомнить главные правила (аксиомы), на которых строится геометрия в пространстве:
- Аксиома А1 (о плоскости и точках): Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
- Следствие из аксиомы: Если три точки лежат на одной прямой, то через них можно провести бесконечно много плоскостей (вращая плоскость вокруг этой прямой).
Верны ли утверждения о трех и четырех точках?
В школьном курсе геометрии (например, в учебнике Атанасяна за 10-11 класс) часто встречается задание: «Верно ли, что: а) любые три точки лежат в одной плоскости; б) любые четыре точки лежат в одной плоскости?». Разберем каждый пункт.
а) Верно ли, что любые три точки лежат в одной плоскости?
Ответ: Да, верно.
Какими бы ни были три точки в пространстве, вы всегда можете найти плоскость, которая будет их содержать:
- Если точки не лежат на одной прямой, то по аксиоме через них проходит ровно одна плоскость.
- Если точки лежат на одной прямой, то через эту прямую (а значит, и через эти три точки) можно провести плоскость (и даже не одну).
Однако важно помнить: утверждение «через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна» — неверно, так как в случае расположения точек на одной прямой плоскость не будет единственной.
б) Верно ли, что любые четыре точки лежат в одной плоскости?
Ответ: Нет, неверно.
Четвертая точка совершенно не обязана попадать в ту плоскость, в которой лежат первые три. В пространстве точка может находиться «над» или «под» плоскостью, вне её границ.
Наглядный пример из жизни
Представьте себе стол — это наша плоскость. Поставьте на стол три чашки. Как бы вы их ни поставили, они всегда будут стоять на поверхности стола (все три точки лежат в одной плоскости). А теперь возьмите четвертую чашку и повесьте её на крючок в потолке прямо над столом. Эта чашка уже не лежит в плоскости стола. Четыре точки (днища четырех чашек) не лежат в одной плоскости.
Или еще более простой пример: ножки табурета. Если табурет стоит на ровном полу, то концы его четырех ножек лежат в одной плоскости (плоскости пола). Но если табурет шатается (одна ножка короче других), то конец укороченной ножки не достает до пола. Значит, концы четырех ножек такого табурета не лежат в одной плоскости.
Когда же четыре точки лежат в одной плоскости?
Четыре точки будут лежать в одной плоскости только в том случае, если четвертая точка попадает в плоскость, заданную первыми тремя (если те не на одной прямой), либо если все четыре точки лежат на одной прямой, либо если через них можно провести какую-то общую плоскость (например, они являются вершинами плоского четырехугольника). Но это частные случаи, а не правило для любых точек.
Разбор других похожих утверждений
Чтобы лучше разобраться в теме, стоит рассмотреть и смежные утверждения, которые часто встречаются в тестах:
- «Любые четыре точки не лежат в одной плоскости» — это утверждение неверно. Четыре точки вполне могут лежать в одной плоскости (например, вершины квадрата). Утверждение становится неверным из-за слова «любые».
- «Если четыре точки не лежат в одной плоскости, то какие-нибудь три из них лежат на одной прямой» — это неверно. Можно взять четыре точки, образующие правильный тетраэдр (треугольную пирамиду). Никакие три его вершины не лежат на одной прямой, но при этом все четыре не лежат в одной плоскости.