Вопрос о том‚ можно ли вписать окружность в любой четырёхугольник‚ встречается в школьных и вузовских курсах геометрии․ Ответ прост: нет․ Только часть четырёхугольников обладает специальным свойством – они вписываемы (или тангентные) в окружность․ В этой статье мы подробно разберём‚ что такое вписанный четырёхугольник‚ какие существуют необходимые и достаточные условия его существования‚ как их проверять и какие типы фигур удовлетворяют этим условиям․
Основные определения
- Вписанный (тангентный) четырёхугольник – это выпуклый четырёхугольник‚ в который можно вписать окружность так‚ чтобы она касалась каждой из его сторон;
- Окружность‚ вписанная в четырёхугольник (иногда называют вписанной окружностью) – окружность‚ касающаяся всех четырёх сторон четырёхугольника․
- Полупериметр четырёхугольника обозначается как p = (a+b+c+d)/2‚ где a‚ b‚ c‚ d – длины его сторон․
- Радиус вписанной окружности обозначается r․
Почему не любой четырёхугольник вписуем?
Для того чтобы окружность могла касаться всех четырёх сторон‚ её центр должен находиться одновременно на всех четырёх биссектрисах углов․ В произвольном четырёхугольнике эти биссектрисы‚ как правило‚ не пересекаются в одной точке‚ поэтому условие вписанности нарушается․
Критерии вписанности четырёхугольника
Существует несколько эквивалентных критериев‚ позволяющих проверить‚ можно ли вписать окружность в заданный выпуклый четырёхугольник․
Теорема Питоу (сумма противоположных сторон)
Для выпуклого четырёхугольника ABCD необходимым и достаточным условием вписанности является равенство сумм противоположных сторон:
a + c = b + d
где a = AB‚ b = BC‚ c = CD‚ d = DA․ Это условие часто называют критерием Питоу․
Сумма противоположных углов = 180°
Для выписанного (не путать с вписанным) четырёхугольника (т․н․ циклического) выполняется условие ∠A + ∠C = 180°․ Для вписанного четырёхугольника аналогичный критерий выглядит иначе: углы между сторонами и касательной к окружности равны․ Поэтому упоминать его здесь не будем – основной критерий для вписанности – сумма противоположных сторон․
Сходимость биссектрис углов
Все четыре биссектрис углов четырёхугольника должны пересекаться в одной точке I․ Эта точка будет центром вписанной окружности․ На практике проверять это сложно‚ но теоретически это эквивалентно критерию Питоу․
Формула площади
Если у четырёхугольника существует вписанная окружность‚ то его площадь S связана с полупериметром p и радиусом r следующей формулой:
S = r · p
Эта формула позволяет вычислить радиус‚ если известны площадь и полупериметр‚ и наоборот‚ служит проверкой вписанности․
Примеры вписанных и невписанных четырёхугольников
Вписанные четырёхугольники
- Квадрат – очевидный пример: все стороны равны‚ а суммы противоположных сторон совпадают․
- Ромб – если в нём диагонали перпендикулярны‚ то он вписан (в любой ромб сумма противоположных сторон равна‚ но требуется‚ чтобы биссектрисы углов совпадали; в ромбе они всегда пересекаются в центре)․
- Кайт (ромбовидный трапеция) с условием a + c = b + d․ Часто встречается в задачах‚ где одна из пар сторон равна․
- Трапеция‚ у которой основания и боковые стороны удовлетворяют критерию Питоу (пример – равнобедренная трапеция с особой длиной боковых сторон)․
- Тангенциальный (вписанный) четырёхугольник – специально построенный так‚ чтобы a + c = b + d․ Любой такой четырёхугольник можно построить‚ задав три стороны произвольно‚ а четвертую определить из равенства сумм․
Невписанные (противоположный пример)
- Прямоугольник‚ не являющийся квадратом․ Стороны a = b ≠ c = d‚ поэтому a + c ≠ b + d․ Окружность может касаться только двух противоположных сторон‚ но не всех четырёх․
- Произвольный произвольный выпуклый четырёхугольник‚ у которого суммы противоположных сторон различаются․
- Кольцевой четырёхугольник (не выпуклый) – условие Питоу не имеет смысла‚ так как внутренняя область не однозначна․
Как построить вписанную окружность‚ если четырёхугольник удовлетворяет условию
Если дан четырёхугольник ABCD и проверено‚ что a + c = b + d‚ то можно построить вписанную окружность следующими шагами:
- Провести биссектрису угла ∠A․ На листе удобно использовать циркуль и линейку: построить угол‚ затем провести луч‚ делящий его пополам․
- Провести биссектрису угла ∠C․ По теореме Питоу эти две биссектрисы обязательно переснутся в точке I – центре будущей окружности․
- Из точки I опустить перпендикуляр к любой стороне (например‚ к AB)․ Длина перпендикуляра будет радиусом r․
- Через точку I с радиусом r построить окружность․ По построению она будет касаться всех четырёх сторон․
Если биссектрисы ∠B и ∠D тоже проходят через I‚ проверка завершена – окружность действительно вписана․
Связь с другими типами четырёхугольников
Вписанный vs․ описанный четырёхугольник
— Вписанный (тангентный) – окружность касается всех сторон․
— Описанный (циклический) – все вершины лежат на одной окружности․
Эти свойства независимы: квадрилатераль может быть одновременно и вписанным‚ и описанным (это квадрат)‚ только вписанным (ромб с углами 60° и 120°) или только описанным (правильный трапециевидный четырёхугольник)․
Параллельные примеры
- Для описанного четырёхугольника выполняется условие ∠A + ∠C = 180° (теорема о вписанных углах)․
- Для вписанного четырёхугольника – условие Питоу a + c = b + d․
- Для четырёхугольника‚ одновременно вписанного и описанного (такой называется вписанно-описанным)‚ оба условия выполняются одновременно․ Пример – квадрат․
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Можно ли вписать окружность в любой неравнобедренный четырёхугольник?
Нет․ Неравнобедренный четырёхугольник может быть вписан только если выполнено равенство сумм противоположных сторон․ В большинстве случаев это условие не соблюдается․
Как проверить вписанность без измерения всех сторон?
Можно проверить совпадение точек пересечения биссектрис углов․ Если три биссектрисы пересекаются в одной точке‚ то и четвертая обязательно проходит через неё․
Существует ли формула для радиуса вписанной окружности?
Да․ Если известны стороны и площадь‚ то r = S / p‚ где S – площадь‚ p – полупериметр․
Можно ли вписать окружность в выпуклый четырёхугольник с одной из сторон‚ параллельной другой?
Да‚ если при этом выполнено условие Питоу․ Например‚ равнобедренная трапеция с основаниями a и c и боковыми сторонами b = d удовлетворяет a + c = b + d при правильном выборе длин․
Ответ на главный вопрос статьи однозначен: не любой четырёхугольник можно вписать окружность․ Вписать окружность можно только в такие четырёхугольники‚ которые удовлетворяют одному из эквивалентных условий‚ наиболее известным из которых является критерий Питоу – равенство сумм противоположных сторон․ Если это условие выполнено‚ то существует единственная вписанная окружность‚ радиус которой можно вычислить по формуле S = r·p․
Таким образом‚ при решении задач по геометрии важно сначала проверять условие Питоу (или эквивалентные критерии)‚ а уже затем переходить к построению или вычислению параметров вписанной окружности․
Полезные ссылки
- Тангенциальный четырёхугольник (Википедия)
- Теорема Питоу и её доказательство
- Видео‑урок по вписанным четырёхугольникам