Конечные десятичные дроби являются иррациональным да или нет

Однажды, когда мы впервые сталкиваемся с числом π ≈ 3,1415926…, нам говорят: «это иррациональное число, потому что его десятичная запись бесконечна и неповторяема». Стоит ли тогда считать, что любая десятичная дробь с бесконечным «хвостом» автоматически становится иррациональной? А что насчёт конечных десятичных дробей — ведь у них-то «хвоста» нет! Ответим на этот вопрос строго и понятно.

Что такое конечная десятичная дробь?

Конечная десятичная дробь — это число, которое можно записать в виде:

a_n…a₀.b₁b₂…b_k

где:

• после десятичной точки конечное число цифр b₁…b_k;
• все a_i и b_j, цифры от 0 до 9;
• правее последней цифры b_k ничего нет (то есть «нулей» мы не пишем).

Примеры: 0,5; 3,75; ‑12,125.

Что такое иррациональное число?

Иррациональное число — это вещественное число, нельзя представить как дробь p/q, где p и q — целые числа, а q ≠ 0. Важное следствие:

Его десятичная запись бесконечна и не периодична.

Ключевая теорема

Теорема (критерий конечной десятичной дроби).
Рациональное число можно записать конечной десятичной дробью тогда и только тогда, когда при приведённом виде p/q (НОД(p,q)=1) в разложении знаменателя q встречаются лишь простые множители 2 и/или 5. В противном случае дробь либо бесконечно периодична, либо иррациональна.

Докажем: конечные десятичные дроби не иррациональны

Пример 1, 0,5

1. 0,5 = 5/10 = 1/2.
2. Знаменатель 2 содержит лишь множитель 2.
3. Число 1/2 рационально ⇒ не иррационально.

Пример 2 — 3,75

1. 3,75 = 375/100 = 15/4.
2. Знаменатель 4 = 2².
3. Число рационально ⇒ не иррационально.

Обобщение

Любую конечную десятичную дробь N можно записать как N = k / 10^m, где k и m — целые неотрицательные числа. Тогда N = k / (2^m·5^m), что является дробью с целыми числителем и знаменателем; Следовательно, N рационально.

Почему возникает путаница?

Учителя и школьники иногда путают «бесконечную десятичную дробь» с «иррациональным числом». Однако:

• 1/3 = 0,333… — бесконечная периодическая дробь, но рациональна.
• π = 3,1415926… — бесконечная непериодическая дробь, поэтому иррациональна.

Конечная же дробь и вовсе не имеет «хвоста», и её можно свести к обыкновенной дроби в одну строку.

Конечные десятичные дроби НЕ являются иррациональными.
Они всегда рациональны, потому что представимы в виде дроби p/q, знаменатель которой содержит лишь простые множители 2 и 5. Помните: иррациональность определяется невозможностью представления в виде дроби, а не длиной десятичной записи.