Этот вопрос является одним из самых коварных в школьном курсе геометрии, на котором часто ошибаются даже отличники. Короткий и точный ответ: НЕТ. Далеко не каждая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой.
Чтобы понять, почему это так, и больше никогда не попадаться на эту уловку, давайте подробно разберем определения, свойства и те самые особые случаи, когда биссектриса и медиана всё-таки совпадают.
Вводные определения: о чём речь?
Прежде чем перейти к равнобедренному треугольнику, вспомним, что такое биссектриса и медиана в целом:
- Биссектриса (от фр. bissectrice и лат. bis sectrix — «надвое рассекающая»), это луч, проходящий через вершину угла и делящий его на две равные части. Если речь идет о треугольнике, биссектриса проводится из вершины угла до противоположной стороны.
- Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
- Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны (они называются боковыми), а третья сторона называется основанием.
Почему ответ «Нет»?
Ключ к разгадке кроется в строении равнобедренного треугольника. У него есть три угла и три вершины, а значит, из каждой вершины можно провести свою биссектрису и свою медиану. И ведут себя они по-разному в зависимости от того, к какой именно вершине мы их проводим.
Давайте рассмотрим два разных случая:
Биссектриса, проведенная к ОСНОВАНИЮ
Если мы проведем биссектрису из вершины, которая находится напротив основания (эта вершина образована двумя равными боковыми сторонами), то здесь нас ждет настоящее геометрическое чудо!
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, одновременно является и медианой, и высотой. Это тройное совпадение происходит благодаря совершенной симметрии равнобедренного треугольника относительно этой линии. Она делит угол пополам (свойство биссектрисы), делит основание пополам (свойство медианы) и перпендикулярна основанию (свойство высоты).
Именно это свойство часто заставляет учеников ошибочно отвечать «Да» на главный вопрос статьи. Они запоминают совпадение, но забывают, что это верно только для одной линии.
Биссектрисы, проведенные к БОКОВЫМ СТОРОНАМ
А теперь проведем биссектрисы из двух других вершин — тех, которые лежат в основании треугольника. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, поэтому биссектрисы будут равны друг другу. Но будут ли они медианами? Нет!
Почему? Вспомним важное свойство биссектрисы: биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
Пусть наш треугольник имеет боковые стороны равные a и основание равное b (при этом a ≠ b). Если мы проведем биссектрису из угла при основании к боковой стороне, она разделит эту боковую сторону на два отрезка. Длина одного отрезка будет пропорциональна основанию b, а длина другого, пропорциональна другой боковой стороне a.
Так как a и b не равны, то и получившиеся отрезки будут не равны между собой. А значит, биссектриса делит боковую сторону не посередине. Следовательно, она не является медианой.
Когда каждая биссектриса является медианой? Единственное исключение
Существует лишь один частный случай равнобедренного треугольника, в котором каждая биссектриса является медианой (и высотой). Это равносторонний треугольник.
В равностороннем треугольнике все три стороны равны (a = b = c) и все три угла равны (по 60°). Из-за абсолютной симметрии любая биссектриса, проведенная из любой вершины, будет делить противоположную сторону ровно пополам. Но важно понимать: равносторонний треугольник, это лишь частный (и вырожденный в плане типизации) случай равнобедренного. Классическое определение равнобедренного треугольника допускает неравенство основания и боковых сторон.
Резюме
Чтобы блестяще отвечать на вопросы по геометрии и не путаться, запомните простое правило:
- В произвольном равнобедренном треугольнике только одна биссектриса является медианой — та, что проведена к основанию из угла между боковыми сторонами.
- Две другие биссектрисы (проведенные к боковым сторонам из углов при основании) медианами не являються.
- Все три биссектрисы являются медианами только в равностороннем треугольнике.
Поэтому утверждение «Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой» в общем случае неверно. Будьте внимательны с формулировками — именно в них кроется суть математики!