Один из самых популярных вопросов, который возникает у восьмиклассников при изучении темы «Окружность и касательная», звучит так: «Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания — да или нет?».
Краткий и строгий ответ: НЕТ. Касательная перпендикулярна радиусу, а не параллельна ему. Ниже разберёмся почему, приведём строгое доказательство и покажем несколько практических примеров.
Что такое касательная к окружности?
Касательной к окружности называют прямую, имеющую с окружностью ровно одну общую точку. Эта точка называется точкой касания;
Ключевая теорема: касательная ⟂ радиусу
Теорема
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
Доказательство (метод «от противного»)
- Пусть ω, окружность с центром O, ℓ — касательная, касающаяся ω в точке A.
- Допустим противное: радиус OA не перпендикулярен ℓ.
- Тогда можно опустить перпендикуляр из O на ℓ; пусть его ножка — точка B (B ≠ A). Получаем OB ⟂ ℓ и OB < OA (катет меньше гипотенузы).
- Но расстояние от центра до прямой ℓ (OB) < радиуса (OA), а значит прямая ℓ пересекает окружность в двух точках, что противоречит определению касательной.
- Следовательно, наше предположение ложно, и OA ⟂ ℓ.
Почему «параллельно» — неверно
Если бы касательная была параллельна радиусу, то расстояние от центра до прямой равнялось бы радиусу, но прямая не пересекала бы окружность ни в одной точке (окружность «обходилась бы» стороной). Это уже не касательная, а секущая либо вообще «проходящая мимо».
Важные следствия
- Отрезки касательных, проведённых из одной точки вне окружности, равны.
- Центр окружности лежит на биссектрисе угла между этими касательными (см. рисунок ниже).
Практическое применение
Задача 1
Из точки M проведены две касательные к окружности с центром O в точках A и B. Докажите, что MO — биссектриса угла AMB.
Решение.
∠OAM = ∠OBM = 90°, так как касательные перпендикулярны радиусам. Треугольники OAM и OBM равны по гипотенузе и катету (OM общий, OA = OB = R). Значит, ∠AMO = ∠BMO, ч.т.д.
Задача 2 (ОГЭ)
Радиус окружности 5 см. Найдите длину касательной, проведённой из точки, удалённой на 13 см от центра.
Решение.
По теореме Пифагора в △OAM:
AM² + OA² = OM² → AM² + 5² = 13² → AM² = 169 − 25 = 144 → AM = 12 см.
Чек-лист для ученика
- ☐ Запомни: «Касательная ⟂ радиусу», всегда!
- ☐ Используй это свойство при решении задач на касательные.
- ☐ Проверяй: если в ответе получается «параллельно», ищи ошибку.
Утверждение «касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания» является ошибочным. Правильное соотношение — перпендикулярность, что строго доказано и широко применяется на практике.
Помните: касательная — это «мост» между прямой и окружностью, и этот мост всегда встречает радиус под прямым углом!