Трапеция с вписанной окружностью: миф или закон?

В школьной геометрии часто встречается задача: «Докажите‚ что если в трапецию вписана окружность‚ то эта трапеция является равнобедренной». Ответ однозначен – да; Однако‚ чтобы понять‚ почему это так‚ необходимо рассмотреть несколько фундаментальных понятий и выполнить строгий доказательный рассуждения.

Основные определения

Трапеция – четырёхугольник‚ у которого хотя бы одна пара противоположных сторон параллельна. Параллельные стороны называют основаниями‚ а остальные – боковыми сторонами.
Окружность‚ вписанная в многоугольник (или вписанная окружность) – окружность‚ которая касается каждой стороны многоугольника ровно в одной точке.
Равнобедренная трапеция – трапеция‚ у которой боковые стороны равны по длине‚ а углы при каждой из оснований равны друг другу.

Критерий вписанности четырёхугольника

Для любого выпуклого четырёхугольника ABCD существует вписанная окружность тогда и только тогда‚ когда сумма длин противоположных сторон равна:

AB + CD = BC + AD

Этот критерий называют условием Понселе (или условием «сумма противоположных сторон»). Он вытекает из того‚ что отрезки касания к окружности от каждой вершины образуют пары равных отрезков.

Применение условия к трапеции

Обозначим трапецию ABCD так‚ что AB и CD – основания (параллельные)‚ а BC и AD – боковые стороны.

Если в ABCD вписана окружность‚ то по условию Понселе:

AB + CD = BC + AD (1)

Но в любой трапеции AB и CD параллельны‚ а углы при каждой из оснований являются смежными. Рассмотрим углы ∠A и ∠D (углы при боковой стороне AD) и углы ∠B и ∠C (углы при боковой стороне BC).

Из свойства вписанной окружности следует‚ что углы‚ образованные касательными‚ равны:

∠A + ∠C = 180°
∠B + ∠D = 180°

Сложив эти два равенства‚ получаем:

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°

Но в любой трапеции сумма всех четырёх углов также равна 360°‚ поэтому равенства выше не дают новой информации. Главное – использовать (1).

Как из (1) выводится равнобедренность?

Перепишем (1) в виде:

BC ‒ AD = AB ─ CD

В трапеции основания AB и CD параллельны‚ следовательно‚ углы при боковых сторонах являются смежными к этим основаниям:

∠A и ∠B – углы при основании AB
∠C и ∠D – углы при основании CD

Если бы боковые стороны BC и AD отличались‚ то их разность была бы отлична от разности оснований‚ а условие (1) не выполнялось бы. Таким образом‚ единственный способ удовлетворить (1) – это когда

BC = AD

То есть боковые стороны равны‚ а значит трапеция равнобедренная. Кроме того‚ из равенства боковых сторон следует равенство углов при основаниях:

∠A = ∠B ‚ ∠C = ∠D

Именно это свойство и формулируется в школьных учебниках: «Если в трапецию вписана окружность‚ то она обязательно равнобедренна».

Обратное утверждение

Важно различать два направления:

Если в трапецию вписана окружность → трапеция равнобедренна. Это обязательно истинно.
Если трапеция равнобедренна → в неё можно вписать окружность. Это не всегда. Для равнобедренной трапеции необходимо дополнительно выполнить условие Понселе (1). Иначе окружность не будет касаться всех четырёх сторон.

Пример контрпримеров:

Трапеция с основаниями 8 см и 12 см‚ боковыми сторонами 5 см и 5 см – равнобедренная‚ но 8 + 12 ≠ 5 + 5‚ следовательно‚ окружность вписать нельзя.
Трапеция с основаниями 10 см и 14 см‚ боковыми сторонами 12 см и 12 см – равнобедренная и в неё вписана окружность‚ так как 10 + 14 = 12 + 12 = 24.

Алгебраический критерий для равнобедренной трапеции с вписанной окружностью

Пусть:

а – длина нижнего основания (большего)‚
c – длина верхнего основания (меньшего)‚
b – длина боковой стороны (они равны в равнобедренной трапеции).

Тогда условие (1) принимает вид:

a + c = 2b ⇔ b = rac{a + c}{2}

То есть боковая сторона должна быть равна средней линии трапеции. Это часто используют в задачах ЕГЭ/ОГЭ.

Практические задачи и типичные ошибки

Задача 1. (Классический вариант)

В трапецию ABCD вписана окружность. Длины оснований равны 6 см и 14 см. Найдите длину каждой боковой стороны.

Решение:

По условию вписанности: AB + CD = BC + AD.
Обозначим BC = AD = x (равнобедренность уже доказана).
Подставляем: 6 + 14 = x + x → 20 = 2x → x = 10 см.

Задача 2. (Проверка необходимости условия)

Дана трапеция с основаниями 9 см и 13 см и боковыми сторонами 7 см и 9 см. Можно ли в неё вписать окружность?

Решение:

Сумма оснований: 9 + 13 = 22.
Сумма боковых: 7 + 9 = 16.
22 ≠ 16 → условие Понселе не выполнено → вписать окружность невозможно.

Геометрическое объяснение через касательные

Если окружность касается сторон трапеции‚ то от каждой вершины к точкам касания образуются пары равных отрезков:

От вершины A до касания со стороной AB и со стороной AD – одинаковы.
Аналогично для остальных вершин.

Записав эти равенства‚ получаем систему‚ из которой следует‚ что отрезки‚ принадлежащие боковым сторонам‚ одинаковы‚ а значит и сами боковые стороны равны.

Если в трапецию вписана окружность‚ то трапеция обязана быть равнобедренной. Это доказано как алгебраически (условие Понселе)‚ так и геометрически (равные отрезки касания).
Обратное утверждение неверно без дополнительного условия AB + CD = BC + AD. Не всякая равнобедренная трапеция имеет вписанную окружность.
Для практических задач полезно помнить формулу b = (a + c)/2 – боковая сторона равна средней линии трапеции.

Полезные ссылки и литература

Учебник «Геометрия» (11‑й класс) – раздел «Трапеции»‚ пункт «Вписанные окружности».
Сайт Uchi.ru – решение задачи «Докажите‚ что если около трапеции можно описать окружность‚ то эта трапеция равнобедренная».
Материал «Трапеция и окружность» – МАТВОКС‚ 2018.
Справочник «Критерий Понселе для вписанных многоугольников» – MathWorld.