Вопрос о том, какой величиной будет смежный угол, если известен один из них, часто встречается в школьных тестах, на ЕГЭ и в повседневных задачах по геометрии․ В этой статье мы подробно разберём, что такое смежные углы, какие у них свойства, и почему в большинстве типовых ситуаций ответ «да, смежный угол будет 130°» верен, а в некоторых – нет․
Определение смежных углов
Смежными (англ․ adjacent angles) называют две углы, у которых:
- одна общая вершина;
- одна общая сторона (луч);
- другие две стороны образуют одну прямую линию, то есть являются продолжениями друг друга․
Иными словами, если два угла «стоят рядом» и их «внешние» стороны образуют один луч, то такие углы – смежные; На рисунке ниже (условно) показано расположение смежных углов ∠AOB и ∠BOC:
OA 50° \ O------OB------OC 130° C
Угол ∠AOC – развернутый (прямой) угол, его мера равна 180°․ Именно из этого следует главное свойство смежных углов․
Свойство смежных углов
Сумма мер смежных углов всегда равна 180°․ Формально:
Это свойство вытекает из того, что два внешних луча образуют прямую линию․
Как найти смежный угол, если известен один из них?
Если известна мера одного из смежных углов α, то меру второго угла β можно найти по простой формуле:
Пример:
- Дан угол α = 50°․
- Тогда смежный угол β = 180° – 50° = 130°․
Ответ: да, смежный угол будет 130°, при условии, что углы действительно смежные․
Когда ответ «130°» будет неверным?
Важно помнить, что формула β = 180° – α применима только к смежным углам․ Возможны следующие ситуации, когда угол 50° не имеет смежного 130°:
- Углы не смежные․ Если два угла находятся в разных вершинах или их общая сторона не образует продолжение, то они могут быть, например, вертикальными (в этом случае их меры равны) или вовсе несвязанными․
- Угол 50° является частью развернутого угла вместе с более чем одним другим углом․ Например, если от луча OA отходит несколько лучей, образующих несколько соседних углов, то каждый из них будет смежным только со своим «соседом», а не со всеми сразу․
- Геометрическая конфигурация отличается от «прямой линии»․ В случае, когда две стороны не образуют прямую, а, скажем, изгиб (кривую), то понятие «смежный угол» в традиционном смысле не применяется․
Следовательно, перед тем как сразу писать «130°», убедитесь, что условия задачи действительно описывают смежные углы․
Примеры из жизни и типовые задачи
Пример 1․ Простая задача
На листе бумаги проведена прямая AB․ Луч OC образует с этой прямой угол 50°․ Какой угол образует луч OD, продолжающий OC в противоположном направлении?
Ответ: 130°, потому что ∠COB = 50° и ∠BOD – смежный к нему, следовательно ∠BOD = 180° – 50° = 130°․
Пример 2․ Задача с несколькими углами
В точке O сходятся три луча: OA, OB, OC․ Угол ∠AOB = 50°, угол ∠BOC = 70°․ Какой угол ∠AOC?
Здесь ∠AOC не является смежным к ∠AOB, а является их суммой: ∠AOC = 50° + 70° = 120°․ Поэтому в этой конфигурации «смежный к 50° угол» – это ∠BOA = 130°, а не ∠AOC․
Пример 3․ ЕГЭ 2026 год, задание «Смежные углы»
Дана прямая l и две прямые m и n, пересекающие её в точке O․ Угол между l и m равен 50°․ Угол между l и n равен 130°․ Какой тип углов образуют m и n?
Ответ: Углы ∠mOn и ∠nOm – вертикальные, их меры равны 80° (180° – 50° – 130°)․ Здесь 130° действительно является смежным к 50° углу, но уже в другой паре․
Как проверить, что углы смежные (пошаговый алгоритм)
- Найдите общую вершину․ У обоих углов должна быть одна и та же точка․
- Определите общую сторону․ Углы должны иметь один общий луч․
- Проверьте, образуют ли остальные стороны одну прямую․ Если продолжить один из лучей, он должен совпасть с другим․
- Если все три условия выполнены, то применяйте правило ∠₁ + ∠₂ = 180°․
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Можно ли иметь смежный угол, равный 180°?
Нет․ Если один из углов равен 180°, то второй угол будет 0°, что не считается углом в традиционной геометрии (угол 0° – «выпрямление» луча)․
Что если угол 50° находится в треугольнике?
Тогда 130° не может быть смежным, потому что сумма углов в треугольнике 180°, а остальные два угла уже заняты․ Смежный угол будет находиться за пределами треугольника, на продолжении одной из его сторон․
Существует ли «смежный угол» к прямому углу (90°)?
Да, смежный к 90° углу будет 90°, потому что 180° – 90° = 90°․ Таким образом, два прямых угла могут быть смежными․
Итак, ответ на главный вопрос «Если угол равен 50°, то смежный с ним 130°? – да или нет» выглядит так:
- Да, если речь идёт о смежных углах, то есть они имеют общую вершину, общую сторону и остальные стороны образуют одну прямую․ В этом случае смежный угол = 180° – 50° = 130°․
- Нет, если указанные условия не выполнены (углы не смежные, или они находятся в разных геометрических конфигурациях)․
Запомните простую формулу β = 180° – α и проверяйте условия смежности – тогда ошибки в решении задач практически не будет;
Полезные ресурсы
- Уроки по смежным углам (Uchi․ru)
- Подготовка к ЕГЭ 2026: смежные и вертикальные углы
- Обсуждение на английском (Math StackExchange)
Если у вас остались вопросы – оставляйте комментарий, и мы разберём их вместе!