Если углы при основании трапеции равны то она равнобедренная да или нет

Тема часто встречается в ЕГЭ по геометрии и в школьных упражнениях по планиметрии.
Ответ на вопрос кажется очевидным, но для полной уверенности необходимо рассмотреть все
доказательства, свойства и возможные исключения.

Основные определения

• Трапеция — четырёхугольник, у которого хотя бы одна пара противоположных сторон
  параллельна. Параллельные стороны называют основаниями (обозначаются обычно AB и CD),
  а остальные две стороны – боковыми (AD и BC).
• Равнобедренная трапеция (равнобочная) — трапеция, у которой боковые стороны равны:
  AD = BC. При этом автоматически выполняются несколько
  важных свойств, о которых мы поговорим дальше.
• Углы при основании — углы, образованные боковой стороной и основанием.
  При большом основании AB это углы ∠DAB и ∠CBA, при малом основании CD —
  углы ∠ADC и ∠BCD.

Признаки равнобедренной трапеции

Существует несколько эквивалентных условий, при выполнении любого из которых трапеция
обязательно будет равнобедренной:

1. Углы при одном из оснований равны:
   
   ∠DAB = ∠CBA (углы при большом основании) или ∠ADC = ∠BCD (углы при малом основании).
2. Диагонали равны: AC = BD.
3. Боковые стороны равны: AD = BC (это определение, но также может служить признаком, если
   известны длины сторон).
4. Углы между диагоналями и основаниями попарно равны:
   ∠ABD = ∠ACD и ∠DBC = ∠BAC и т.п.

Таким образом, равенство углов при основании является достаточным и необходимым
условием для того, чтобы трапеция была равнобедренной.

Доказательство: “Если углы при основании равны → трапеция равнобедренная”

Доказательство через симметрию

Пусть в трапеции ABCD (основания AB ∥ CD) выполнено ∠DAB = ∠CBA.
Построим высоту h из вершины D на основание AB и высоту из вершины C на то же основание.
Т.к. высоты опираются на одну и ту же прямую AB и образуют одинаковые углы с ней,
получаем два прямоугольных треугольника ΔDAB и ΔCBA, у которых:

• углы при вершине A и B равны (по условию);
• углы при высоте h одинаковы (по построению);
• общий катет h одинаков.

Следовательно, треугольники ΔDAB и ΔCBA равны по двум углам и гипотенузе
(теорема о равенстве треугольников по АА и гипотенузе). Поэтому их гипотенузы, то есть боковые стороны
AD и BC, равны. Значит, трапеция ABCD равнобедренная.

Доказательство через диагонали

В любой трапеции, где углы при основании равны, диагонали оказываются равными.
Действительно, в треугольниках ΔABD и ΔCBA (см. рисунок) у нас уже есть:

• ∠DAB = ∠CBA (по условию);
• ∠ABD = ∠BAC (по вертикальной паре углов, так как AB ∥ CD);

Отсюда получаем ΔABD ≅ ΔCBA (по АА). Следовательно, их соответствующие стороны –
диагонали AC и BD – равны. А из известного свойства: равные диагонали ⇔ равнобедренная трапеция,
получаем требуемый вывод.

Обратное утверждение: “Если трапеция равнобедренная → углы при основании равны”

Это утверждение также истинно и часто используется в задачах.

• Если AD = BC, то в треугольниках ΔDAB и ΔCBA три стороны попарно равны
  (AB — общее, AD = BC, и высоты, проведённые к AB, одинаковы); Поэтому углы при основании
  равны.
• Можно также воспользоваться свойством равных диагоналей: в равнобедренной трапеции
  AC = BD, а тогда в треугольниках ΔADC и ΔBCD получаем равенство углов при основаниях.

Практические задачи

Задача из ЕГЭ (уровень 8‑й класс)

Условие. В трапеции ABCD (основания AB ∥ CD) известны:

• ∠DAB = 62°;
• ∠CDA = 62°;

Определите, является ли эта трапеция равнобедренной, и найдите угол ∠BCD.

Решение.

1. Углы ∠DAB и ∠CDA находятся при разных основаниях, но оба равны 62°.
   Значит, угол при большом основании ∠DAB равен углу при малом основании ∠CDA.
2. В любой трапеции сумма углов при одном основании и соседнего угла равна 180°:
   ∠DAB + ∠ADC = 180°. Подставляем: 62° + ∠ADC = 180° ⇒ ∠ADC = 118°.
3. Аналогично, ∠CBA + ∠BCD = 180°. Поскольку ∠CBA = ∠DAB = 62°,
   получаем ∠BCD = 118°.
4. Имеем равенство углов при обоих основаниях (∠DAB = ∠CBA и ∠ADC = ∠BCD),
   следовательно, трапеция равнобедренная (по признаку 1).

Задача с вычислением высоты

В равнобедренной трапеции ABCD основания AB = 12 см, CD = 6 см, боковая сторона AD = BC = 5 см.
Найдите высоту h.

Решение (кратко):

1. Пусть точка E – проекция D на AB. Тогда AE = x, EB = AB ー x.
2. В прямоугольных треугольниках ΔADE и ΔBCE:
   AD² = h² + x² и BC² = h² + (AB ー CD ー x)².
3. Поскольку AD = BC = 5, получаем уравнение:
   x² = (AB ー CD ー x)² ⇒ x = (AB ー CD)/2 = (12‑6)/2 = 3 см.
4. Тогда h = √(AD² ー x²) = √(5² ー 3²) = √(25‑9) = √16 = 4 см.

Возможные «подводные камни»

• Не путать углы при основании с углами при боковой стороне. Равенство углов
  ∠DAB = ∠ABC (по разным основаниям) уже гарантирует равнобедренность, а равенство
  ∠BAD = ∠ADC (углы при одной боковой стороне) – нет.
• Если известна только одна пара углов при основании (например, только
  ∠DAB = ∠CBA), то это уже достаточно. Но если указаны лишь углы при боковых
  сторонах, равенство не гарантирует равнобедренность.
• В случае выворачивания трапеции (если она «перевернутая»), угол при большом
  основании может быть измерен как внешний угол. В таком случае следует внимательно
  различать внутренние и внешние углы.

Краткое резюме

• Если в трапеции углы при одном из оснований равны (∠DAB = ∠CBA или ∠ADC = ∠BCD),
  то трапеция обязательно равнобедренная (AD = BC).
• Это условие не только достаточное, но и необходимое – обратное утверждение
  также верно.
• Равенство углов при основании автоматически влечёт равенство диагоналей
  (AC = BD) и симметрию относительно средней линии.
• Для решения задач достаточно проверить один из признаков:
  • равенство углов при основании;
  • равенство диагоналей;
  • равенство боковых сторон.

Ответ: Да, если углы при основании трапеции равны, то эта трапеция
равнобедренная. Это следует из одного из основных признаков равнобедренной трапеции.

Дата генерации статьи: , 02:03:59.