Вопрос‚ который часто появляется на уроках геометрии и в заданиях ЕГЭ и ОГЭ: «Если трапецию можно вписать в окружность‚ обязательно ли она будет равнобедренной?»
Краткий ответ — ДА. Ниже приведено строгое доказательство и полезные следствия.
Напомним определения
- Трапеция — четырёхугольник‚ у которого ровно одна пара противоположных сторон параллельны (основания).
- Вписанная трапеция — трапеция‚ все четыре вершины которой лежат на одной и той же окружности;
- Равнобедренная трапеция — трапеция‚ у которой боковые стороны равны.
Теорема и доказательство
Теорема
Всякая трапеция‚ вписанная в окружность‚ является равнобедренной.
Доказательство
Пусть ABCD — трапеция‚ в которой AD ∥ BC‚ и все точки A‚ B‚ C‚ D лежат на окружности.
Тогда четырёхугольник ABCD является вписанным‚ и по свойству вписанного четырёхугольника выполняется:
∠A + ∠C = 180° и ∠B + ∠D = 180°. (1)
Но в трапеции AD ∥ BC‚ следовательно:
∠A + ∠B = 180° и ∠C + ∠D = 180°. (2)
Вычитая из (1) соответствующие равенства (2)‚ получаем:
- (∠A + ∠C) − (∠A + ∠B) = 180° − 180° ⇒ ∠C − ∠B = 0 ⇒ ∠C = ∠B.
- (∠B + ∠D) − (∠C + ∠D) = 0 ⇒ ∠B − ∠C = 0 ⇒ ∠B = ∠C.
Итак‚ ∠B = ∠C. Следовательно‚ треугольники ABC и DCB имеют равные углы при общей стороне BC‚ откуда AB = CD.
Значит‚ трапеция ABCD равнобедренная. ▢
Обратное утверждение
Обратное также верно: всякую равнобедренную трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда‚ когда она прямоугольная (то есть имеет два прямых угла) либо когда основания и высота удовлетворяют дополнительным условиям. Однако об этом чаще говорят в контексте задач на вписанную окружность (а не описанную).
| Факт | Условие | |
|---|---|---|
| 1 | Трапеция вписана в окружность | ⇨ Равнобедренная |
| 2 | Равнобедренная трапеция | ⇨ Допустима вписанная окружность при выполнении дополнительных условий (не всегда) |
Мини-чек-лист для учащегося
- Убедитесь‚ что четырёхугольник действительно трапеция (ровно одна пара параллельных сторон).
- Если условие гласит‚ что трапеция вписана в окружность‚ сразу записывайте: «Значит‚ трапеция равнобедренная».
- Используйте равенство боковых сторон и равенство углов при основании для решения задачи.
Итак‚ да‚ если трапецию можно вписать в окружность‚ то она обязательно равнобедренная. Это классическое свойство прекрасно иллюстрирует взаимосвязь между параллельностью‚ равенством сторон и вписанными четырёхугольниками.