Если две прямые пересечены секущей то накрест лежащие углы равны да или нет

Вопрос, который мучает школьников уже более двух столетий, звучит просто:
«Если секущая пересекает две прямые, и при этом накрест лежащие углы равны, значит ли это, что сами прямые параллельны?»
Короткий ответ — да, но в геометрии коротких ответов почти не бывает. Давайте разберёмся подробно.

Что такое накрест лежащие углы?

Представьте себе две прямые a и b, которые пересекает третья прямая s (секущая).
При этом образуются восемь углов, которые можно «разложить» по парам и назвать:

• соответственные,
• односторонние,
• накрест лежащие.

Накрест лежащие углы — это два угла, которые:

1. располагаются внутри «полосы» между прямыми a и b;
2. находятся по разные стороны от секущей s;
3. не имеют общего луча у секущей.

Их ещё называют внутренними накрест лежащими. Если же углы лежат вне «полосы», но тоже накрест, то это внешние накрест лежащие. Для нас сегодня важны именно внутренние.

Формулировка теоремы и её «обратка»

Теорема (свойство)

Если две прямые параллельны, то при пересечении их секущей внутренние накрест лежащие углы равны.

Это свойство параллельных прямых, которое доказывается через аксиому параллельности и теорему о соответственных углах.

Обратная теорема (признак)

Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Именно эта формулировка отвечает на вопрос «да или нет». Да, равенство накрест лежащих углов гарантирует параллельность прямых.

Доказательство обратной теоремы

Доказательство проведём от противного.

1. Предположение. Пусть прямые a и b не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке P.
2. Рассмотрим треугольник. Секущая s образует с прямыми a и b накрест лежащие углы ∠1 и ∠2, которые, по условию, равны: ∠1 = ∠2.
3. Противоречие. Угол ∠1 является внешним углом треугольника (вершина — точка пересечения секущей с прямой a, а стороны, лучи, идущие к P).
   По свойству внешнего угла он должен быть больше внутреннего неприлежащего угла, то есть ∠1 > ∠2, что противоречит условию ∠1 = ∠2.

Другие формулировки и частые вопросы

Равенство внешних накрест лежащих

Иногда в задачах фигурируют внешние накрест лежащие углы. Их равенство также гарантирует параллельность, потому что внешний накрест лежащий угол = 180° − внутренний накрест лежащий.
Если два внешних равны, то и два «внутренних» автоматически равны, и мы возвращаемся к предыдущей теореме.

Почему не подходит симметрия в общем смысле?

На форумах нередко спрашивают: «А если воспользоваться симметрией, углы же отражаются?» Увы, симметрия зеркального отражения требует специального расположения оси симметрии, которая совпадает с секущей.
В общем случае ось не совпадает с секущей, поэтому зеркальное отражение не гарантирует равенство углов накрест.
Геометрический вывод всё равно опирается на аксиомы Евклида, а не на визуальное «зеркало».

Может ли быть наоборот: прямые параллельны, но накрест лежащие углы не равны?

Нет. Это противоречило бы уже упомянутой первой теореме. Если прямые параллельны — углы обязательно равны.
Любое другое поведение разрушило бы аксиому параллельности.

Запомните простое правило:
Равные накрест лежащие углы = параллельные прямые.

Именно поэтому на ЕГЭ и олимпиадах достаточно указать одну пару равных накрест лежащих углов, чтобы получить «автоматическое» право записать: «следовательно, a ∥ b».