Если два угла имеют общую сторону то они смежные да или нет

В школьной геометрии часто возникает вопрос: достаточно ли того‚ что два угла имеют одну общую сторону‚ чтобы назвать их смежными? Ответ на него не столь прост‚ как может показаться на первый взгляд․ В этой статье мы разберём точное определение смежных углов‚ условия их существования‚ сравним их с другими типами углов и покажем‚ как правильно определять смежность в задачах ЕГЭ и в обычных упражнениях․

Основные определения

1․1 Угол

Угол – это фигура‚ образованная двумя лучами (сторонами угла)‚ исходящими из одной точки‚ называемой вершиной․ Стороны угла называют лучами или сторонами угла․

1․2 Смежные углы

Два угла смежные‚ если выполняются все три условия:

1. У них одна общая вершина;
2. У них одна общая сторона (общий луч);
3. Другие стороны этих углов находятся на одной прямой‚ то есть они являются продолжениями друг друга․ В результате сумма смежных углов всегда равна 180° (они являются дополнительными)․

Иначе говоря‚ если взять два угла АОВ и ВОС‚ где ОВ – общая сторона‚ а лучи ОА и ОС лежат на одной прямой‚ то такие углы – смежные․

1․3 Вертикальные (или противоположные) углы

Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых․ У них тоже есть общая вершина‚ но общих сторон нет․ Их стороны «перекрещиваются»‚ и такие углы всегда равны друг другу․

1․4 Другие пары углов

• Противоположные углы – находятся по разные стороны от общей стороны‚ но не обязательно образуют прямую․
• Прилежащие (соседние) углы – иногда используют как синоним «смежных»‚ однако в строгой терминологии «смежные» – это более точный термин․

Почему наличие общей стороны не гарантирует смежность?

Наличие общей стороны – лишь необходимое условие‚ но не достаточное․ Рассмотрим несколько типичных ситуаций․

2․1 Пример «общая сторона‚ но не смежные»

Пусть даны углы AXB и CXD‚ где луч AX = луч CX (общая сторона)․ Если лучи XB и XD не лежат на одной прямой‚ а‚ скажем‚ образуют угол 70° между собой‚ то суммы углов AXB и CXD будет не 180°․ Такие углы называют не смежными‚ хотя у них есть общая сторона․

2․2 Как визуализировать?

Нарисуйте две лучи‚ исходящие из одной вершины‚ и добавьте к ним любые другие лучи‚ не образующие прямую․ Вы сразу увидите‚ что только одна сторона общая‚ но остальные лучи «разбегаются» в разных направлениях․

Как проверить смежность углов на практике

1. Проверьте вершину․ Углы должны иметь одну и ту же точку․
2. Найдите общую сторону․ Два угла должны делить один луч․
3. Проверьте «продолжения»․ Убедитесь‚ что остальные стороны находятся на одной прямой․ Для этого измерьте угол между ними: если он равен 180°‚ то они являются продолжениями․
4. Сумма углов․ Если после проверки предыдущих пунктов вы получили‚ что остальные стороны – продолжения‚ то сумма углов должна быть 180°․ Это служит дополнительным подтверждением․

В задачах ЕГЭ часто используют формулировку «углы смежные»‚ а в ответе требуется указать‚ что их сумма равна 180°․

Свойства смежных углов

• Сумма смежных углов равна 180° (они дополняют друг друга)․
• Если один из смежных углов – прямой (180°)‚ то второй угол имеет величину 0° (вырожденный случай)․
• Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны (это следует из теоремы о биссектрисе угла)․
• Каждая точка‚ лежащая на биссектрисе угла‚ равноудалена от его сторон․

Смежные углы в задачах ЕГЭ по математике

5․1 Типичная формулировка

«В треугольнике ABC угол ∠BAC и угол ∠CAD смежные․ Найдите величину ∠CAD‚ если ∠BAC = 45°․»

Решение: так как углы смежные‚ их сумма 180°‚ следовательно ∠CAD = 180° – 45° = 135°․

5․2 Задача с проверкой условий

«В точке O проведены две лучи OA и OB‚ а также луч OC‚ такой что OA и OC – продолжения друг друга․ Угол AOB = 70°․ Угол BOC – смежный с углом AOB? Какова его величина?»

Ответ: Да‚ углы смежные‚ потому что OA и OC находятся на одной прямой․ Поэтому ∠BOC = 180° – 70° = 110°․

5․3 Ошибки‚ которые часто делают ученики

• Считают любые два угла с общей стороной смежными‚ не проверяя‚ являются ли остальные стороны продолжениями․
• Путают смежные углы с вертикальными‚ считая‚ что наличие общей вершины достаточно․
• Не учитывают вырожденный случай‚ когда один из углов равен 0°․

Таблица сравнения: смежные vs․ вертикальные углы

Как запомнить условие смежности?

Можно использовать простую мнемонику:

• «В‑О‑С» – Вершина‚ Одна Сторона․
• Если «стороны «в линии» (прямой)‚ то углы смежные․

Итак‚ общая сторона – лишь один из признаков смежных углов․ Чтобы два угла действительно были смежными‚ необходимо‚ чтобы их другие стороны образовывали одну прямую‚ а значит их сумма равнялась 180°․ Понимание этой тонкости помогает избежать типичных ошибок в тестах и в решении геометрических задач․

Помните: смежные = общая вершина + общая сторона + продолжения остальных сторон․ Если хотя бы один из пунктов нарушен‚ углы не являются смежными‚ даже если они «делятся» лучом․

Дата подготовки статьи: ․ Информация основана на учебных материалах по школьной геометрии‚ теоремах о биссектрисах и свойствах смежных и вертикальных углов․