Одно из фундаментальных утверждений стереометрии гласит: если две плоскости параллельны третьей‚ то они параллельны друг другу. Давайте разберёмся‚ почему это так‚ и когда исключений не существует.
Формулировка признака
Теорема звучит кратко:
Если α ∥ γ и β ∥ γ‚ то α ∥ β.
Иными словами‚ параллельность плоскостей транзитивна: отношение «быть параллельной» передаётся от одной пары к другой.
Доказательство «от противного»
Допустим‚ что α и β не параллельны. Тогда они пересекаются по прямой c.
- Поскольку α ∥ γ‚ любая прямая в α (в т.ч. c) не имеет общих точек с γ.
- Аналогично‚ β ∥ γ‚ поэтому c также не пересекает γ.
- Из пунктов 1 и 2 следует‚ что c лежит и в α‚ и в β‚ но не пересекает γ. Однако это невозможно: если α и β пересекаются‚ то их линия пересечения c обязана быть параллельна γ‚ что противоречит предположению о непараллельности α и β.
Противоречие означает‚ что наше допущение неверно: α ∥ β.
Наглядная интерпретация
Представьте книжные полки:
- Нижняя полка — это γ.
- Две верхние полки‚ установленные строго горизонтально над нижней‚ играют роль α и β.
Если обе верхние полки параллельны нижней‚ они обязательно окажутся параллельны друг другу: никакого «схождения» или «расхождения» не произойдёт.
Да‚ две плоскости‚ параллельные третьей‚ всегда параллельны между собой. Это универсальное свойство выполняется в евклидовом пространстве и лежит в основе множества практических задач: от строительства ровных перекрытий до расчёта траекторий в 3D-графике.