Один из самых частых «ловушечных» вопросов в школьной стереометрии звучит так:
«Если две прямые одновременно перпендикулярны третьей прямой, то обязательно ли эти две прямые перпендикулярны между собой?»
Ответ неочевиден: нет, не обязательно. Ниже – подробное объяснение и примеры.
Что значит «перпендикуляр»?
По определению, две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.
В пространстве к этому определению добавляется важное уточнение: даже если прямые не пересекаются (скрещиваются), мы считаем их перпендикулярными, если при параллельном переносе одной из них угол станет прямым.
Ситуация на плоскости
Пусть есть прямая l и две прямые a и b, каждая из которых перпендикулярна l в одной и той же точке P.
- По аксиоме параллельности в плоскости через точку можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной.
- Значит, a и b совпадают.
Ситуация в пространстве (ключевой случай)
В пространстве возможны два принципиально разных расположения.
3.1 Прямые a и b параллельны
Представьте карандаш, стоящий вертикально (это прямая l). Проведём к нему два горизонтальных отрезка – один в точке P, другой в точке Q. Оба отрезка перпендикулярны карандашу, а сами они параллельны друг другу.
- Угол между параллельными прямыми – 0°.
- Следовательно, a ⟂ l, b ⟂ l, но a и b не перпендикулярны между собой.
3.2 Прямые a и b пересекаются
Возьмём ту же вертикальную прямую l. Проведём через точку P две прямые a и b, каждая из которых перпендикулярна l. Но теперь a направлена, например, «на север», а b – «на восток».
- Все три прямые a, b, l образуют взаимно-перпендикулярные оси декартовой системы.
- Угол между a и b – 90°.
| Геометрия | Сколько решений? | Взаимное расположение a и b |
|---|---|---|
| Плоскость | Единственная прямая (совпадают) | Прямые совпадают |
| Пространство | Бесконечно много | От 0° до 90° в зависимости от выбора точек |
Как легко запомнить
Запомните краткое правило:
«На плоскости – одна прямая. В пространстве – целое семейство, углы могут быть любыми.»
Практический пример для закрепления
Задача: Даны прямая l и точка P на ней. Сколько прямых проходят через P и перпендикулярны l?
- В плоскости: одна-единственная прямая.
- В пространстве: целое «перо» прямых, образующих плоскость-перпендикуляр к l в точке P. В этом «пере» можно выбрать любые две прямые, и угол между ними будет произвольным.
Ответ на исходный вопрос: два перпендикуляра к одной прямой в пространстве не обязаны быть взаимно перпендикулярны; чаще всего они вообще параллельны или пересекаются под произвольным углом.