Вопрос о том, делит ли диагональ трапецию на два равных треугольника, является одним из самых коварных в школьном курсе геометрии. Многие ученики попадаются в эту ловушку, путая свойства трапеции со свойствами параллелограмма. Давайте разберем этот вопрос максимально подробно, опираясь на законы планиметрии;
Короткий ответ
Нет, диагональ трапеции не делит ее на два равных треугольника. Это утверждение неверно ни для произвольной трапеции, ни для равнобедренной. Разберемся, почему это так.
Почему утверждение неверно?
Для начала вспомним определение: трапеция, это четырехугольник, у которого две стороны параллельны (они называются основаниями), а две другие стороны не параллельны (боковые стороны).
Когда мы проводим диагональ в трапеции, она действительно разбивает фигуру на два треугольника. Однако у этих треугольников разные основания! Один из образовавшихся треугольников опирается на большее основание трапеции, а другой, на меньшее. Поскольку основания трапеции не равны (в противном случае мы имели бы дело с параллелограммом), то и треугольники, полученные при делении диагональю, не могут быть равными.
Часто ученики путают трапецию с параллелограммом. Вот там правило работает:
- Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника (так как противолежащие стороны параллелограмма попарно равны и параллельны).
- Диагональ трапеции делит ее на два треугольника с разными площадями и размерами.
А как же равнобедренная трапеция?
Еще одна распространенная ошибка — полагать, что для равнобедренной трапеции это правило делает исключение. Это не так.
Диагональ равнобедренной трапеции делит её на два неравных треугольника — это подтвержденный факт, который часто встречается в заданиях ЕГЭ (в разделе проверки истинности утверждений). Хотя у равнобедренной трапеции есть свои уникальные свойства, равенство треугольников, образованных одной диагональю, к ним не относится.
Свойства равнобедренной трапеции, связанные с диагоналями:
Чтобы не путаться, запомним, что действительно верно для равнобедренной трапеции:
- Диагонали равны между собой (AC = BD).
- Углы при каждом из оснований равны.
- Два треугольника, образованные основаниями и диагоналями, являются равнобедренными.
На какие же треугольники диагонали делят трапецию?
Если диагональ не делит трапецию на равные треугольники, то что мы можем сказать о полученных фигурах? Здесь вступают в силу другие, не менее важные и интересные свойства:
Свойство площадей
Диагонали трапеции делят ее на четыре треугольника. Два из них, содержащие боковые стороны, имеют равные площади. А два других треугольника, содержащие основания, подобны друг другу.
Свойство средней линии
Диагонали делят среднюю линию трапеции на три отрезка:
- Средний отрезок равен полуразности оснований трапеции.
- Два крайних отрезка равны между собой. Они равны половине верхнего (меньшего) основания, так как являются средними линиями для треугольников, отсекаемых соответственными диагоналями.
Окружность и трапеция
Вписать в окружность можно только равнобокую (равнобедренную) трапецию. Радиус окружности, описанной около трапеции, можно найти как радиус окружности, описанной около одного из двух треугольников, на которые трапецию делит ее диагональ.
Подведение итогов
Давайте закрепим материал, чтобы никогда не ошибаться на экзаменах и контрольных:
- Утверждение «Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника», НЕВЕРНО.
- Утверждение «Диагональ равнобедренной трапеции делит её на два равных треугольника» — НЕВЕРНО.
- Утверждение «Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника» — ВЕРНО.
Помните главное правило геометрии: если вы хотите доказать или опровергнуть утверждение, всегда возвращайтесь к базовым определениям. Раз основания трапеции не равны, то и треугольники, на которые их делит диагональ, равными быть не могут.