Вопрос «Диагональ квадрата равна …? Да или нет?» встречается в школьных тестах, олимпиадах и в повседневных разговорах о геометрии․ Чтобы дать однозначный ответ, необходимо разобратся в определении диагонали, её свойствах и формулах, которые позволяют вычислять её длину․
Что такое диагональ квадрата?
Диагональю квадрата называется любой отрезок, соединяющий две противоположные вершины фигуры․ В квадрате их две, они пересекаются в центре и делят квадрат на два равных прямоугольных (равнобедренных) треугольника․
- Каждая диагональ образует гипотенузу прямоугольного треугольника, в котором катетами являются стороны квадрата․
- Точки пересечения диагоналей — центр квадрата, расстояния от центра до любой вершины одинаковы․
Формула диагонали через сторону
По теореме Пифагора для треугольника с катетами a (сторона квадрата) и гипотенузой d (диагональ) получаем:
d² = a² + a² = 2a²
Отсюда:
d = a·√2 ≈ a·1,41421356
Эта формула справедлива для любого квадрата, независимо от размеров․
Диагональ через периметр
Периметр квадрата P равен четырём сторонам: P = 4a․ Подставив a = P/4 в формулу диагонали, получим:
d = (P/4)·√2 = P·√2 / 4
Иногда её пишут в виде d = P / (4/√2) = P / (2·√2), что эквивалентно формуле из исходного текста: d = P / (4·√2)․
Пример расчёта
Найдём диагональ квадрата, если его периметр P = 20 см:
- Вычислим сторону: a = P / 4 = 20 см / 4 = 5 см․
- Подставим в формулу диагонали: d = a·√2 = 5 см·1,4142 ≈ 7,07 см․
Или сразу через периметр:
d = P·√2 / 4 = 20·1,4142 / 4 ≈ 7,07 см
Частый вопрос: «Диагональ квадрата равна его стороне?»
Ответ — нет․ Диагональ всегда длиннее стороны:
- Для любой положительной стороны a получаем d = a·√2 > a, потому что √2 ≈ 1,4142 > 1․
- Если сторона = 1 см, то диагональ ≈ 1,414 см․
Сравнение диагонали с другими величинами
| Величина | Отношение к диагонали | Пример (a = 5 см) |
|---|---|---|
| Сторона a | a = d / √2 (меньше) | 5 см = 7,07 см / 1,4142 |
| Периметр P = 4a | P = 4·d / √2 = 2·√2·d (в 2·√2 раз больше) | 20 см = 2·1,4142·7,07 см |
| Площадь S = a² | S = d² / 2 | 25 см² = 7,07² / 2 |
Геометрические свойства диагоналей
- Одинаковая длина․ Обе диагонали квадрата имеют одинаковую длину․
- Пересечение под прямым углом․ Диагонали пересекаются под углом 90°․
- Биссектриса углов․ Каждая диагональ делит углы квадрата (по 90°) пополам, образуя 45°․
- Симметрия․ Диагонали являются осями симметрии квадрата․
Как проверить правильность вычислений?
Для контроля результата можно использовать любой онлайн‑калькулятор:
- Ввести сторону a (или периметр P);
- Нажать кнопку «Вычислить диагональ»․
- Сравнить полученный результат с формулой d = a·√2․
Ответ на главный вопрос статьи
Итак, диагональ квадрата равна …? – она не равна стороне, но равна стороне, умноженной на √2․ Если формулировать коротко:
Диагональ = a·√2 — да (это верное утверждение)․
А утверждение «Диагональ квадрата равна его стороне» — нет․
Понимание того, как вычислять и сравнивать диагональ квадрата, является фундаментальной темой в школьной геометрии․ Главное, что нужно запомнить:
- Диагональ — гипотенуза прямоугольного треугольника, образованного двумя сторонами квадрата․
- Формула d = a·√2 работает всегда․
- Через периметр формула выглядит как d = P·√2 / 4․
- Диагональ всегда длиннее стороны (≈ 1,414 × длиннее)․
Эти простые правила позволяют быстро отвечать на любые «да/нет» вопросы о диагонали квадрата и решать практические задачи․
Дата составления статьи: 28 апреля 2026 г․