Что значит «равные фигуры»?
Равные фигуры — это такие фигуры, которые можно наложить друг на друга полностью совпадающими, то есть их все точки совпадают․ В геометрии равенство фигур описывается через понятие движения: если первую фигуру повернуть, отразить или перенести (сделать параллельный перенос) и она совпадёт со второй, то фигуры равны․
Как проверить, равны ли конкретные фигуры?
Школьники часто путают равные и подобные фигуры․ Подобие — это совпадение формы при, возможно, разном масштабе, а равенство требует точного совпадения размеров и формы․ Ниже приведены пошаговые рекомендации, как отвечать на вопрос «да или нет»․
Для отрезков
- Измерьте длины двух отрезков․
- Если длины совпадают, отрезки равны․ Ответ: да․
- Если длины различаються, ответ: нет․
Для углов
- Измерьте градусную меру углов с помощью транспортира․
- Если градусы совпадают, углы равны․ Ответ: да․
- Иначе — нет;
Для треугольников
Достаточно проверить три признака равенства треугольников:
- По двум сторонам и углу между ними (ПСУ)․ Если у двух треугольников две стороны и угол между ними равны, то треугольники равны․ Ответ: да․
- По стороне и двум прилежащим углам (СДУ)․ Если сторона и два прилежащих угла одного треугольника равны соответствующим элементам другого, то треугольники равны․ Ответ: да․
- По трём сторонам (ТТС)․ Если три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого, то треугольники равны․ Ответ: да․
Если ни один из признаков не выполняется, ответ: нет․
Для многоугольников
Сначала проверьте, что количество вершин совпадает․ Затем:
- Найдите соответствующие стороны и углы․
- Сравните их длины и градусные меры․
- Если все соответствующие элементы равны, фигуры равны․ Ответ: да․
Если хотя бы одна пара не совпадает, ответ: нет․
Частые ошибки учеников
- Путаница равных и подобных фигур․ Например, два прямоугольника 2×3 см и 4×6 см похожи, но не равны, потому что их стороны разной длины․
- Игнорирование порядка вершин при обозначении треугольников․ Треугольник ABC и треугольник CBA, одна и та же фигура, поэтому они равны․
- Не учитывают отражение․ Фигуры могут быть зеркально симметричными, но всё равно равными, если совпадают при наложении․
Примеры решения задач
Пример 1: Отрезки
Даны отрезки AB и CD․ Измерения показали, что AB = 5 см, CD = 5 см․
Пример 2: Треугольники
Даны ∆KLM и ∆XYZ․ Известно: KL = XY = 4 см, ∠K = ∠X = 60°, LM = YZ = 3 см․ Проверяем по признаку ПСУ․
Пример 3: Прямоугольники
Даны прямоугольники A (3 см × 5 см) и B (3 см × 4 см)․
Как на экзамене правильно оформить ответ?
- Укажите, какие элементы фигур вы сравниваете․
- Приведите измерения или вычисления․
- Сделайте вывод: «данные фигуры равны, ответ: да» или «данные фигуры не равны, ответ: нет»․
Чтобы точно ответить «да или нет» на вопрос о равенстве фигур, нужно:
- сравнивать все соответствующие элементы (длины сторон, величины углов, количество вершин);
- проверять возможность совмещения при помощи движений;
- не путать равенство с подобием․
Следуя этим простым правилам, вы безошибочно решите любую геометрическую задачу на равенство фигур․