В логике и математике часто возникает путаница между обычными записями и логическими утверждениями. Одним из самых частых вопросов у изучающих основы информатики или дискретной математики является следующий: являются ли числовые выражения высказываниями? Краткий ответ — нет. Но чтобы понять почему, необходимо разобраться в базовых понятиях и логических правилах.
Что такое высказывание?
В русском языке высказывания выражаются повествовательными предложениями. Высказывание — это предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Высказывания обычно обозначают малыми латинскими буквами (например, a, b, c), а их истинность или ложность — единицей (1) и нулём (0) соответственно.
Например:
- Предложение «Зимой воробьи впадают в спячку» является высказыванием, так как мы можем оценить его истинность. Это ложное высказывание (0).
- Предложение «Вода закипает при 100 градусах Цельсия при нормальном атмосферном давлении» — истинное высказывание (1).
Что НЕ является высказыванием?
Не любые предложения в русском языке могут быть высказываниями. Не являются высказываниями:
- Побудительные предложения: «Уходя, гасите свет и закрывайте дверь». Здесь нет утверждения факта, это призыв к действию. Нельзя сказать, истинно это или ложно.
- Восклицательные предложения: «Да здравствует мыло душистое и полотенце пушистое!». Это эмоциональное восклицание, а не констатация факта.
- Вопросительные предложения: «Который час?».
Почему числовые выражения НЕ являются высказываниями?
Теперь перейдем к главному вопросу. Числовые выражения не являются высказываниями. Почему? Потому что числовое выражение само по себе не подразумевает истинность или ложность. Оно просто обозначает некоторое значение (число).
Рассмотрим примеры числовых выражений:
- 5 + 3
- 12 / 4
- (7 ⎯ 2) * 4
Можем ли мы сказать, что выражение «5 + 3» — это истина или ложь? Нет, это просто математическая запись, результатом которой является число 8. В ней нет утверждения, которое можно было бы оспорить или подтвердить. Следовательно, числовые выражения высказываниями не являются.
Как из числового выражения сделать высказывание?
Хотя числовые выражения по отдельности не являются высказываниями, из них можно составить высказывание. Для этого необходимо взять два числовых выражения и соединить их знаками равенства (=) или неравенства (<, >, ≤, ≥).
В этом случае новое выражение будет представлять собой повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно.
Примеры преобразования в высказывания
- Возьмем два числовых выражения: 5 + 3 и 8. Соединим их знаком равенства: 5 + 3 = 8. Теперь это высказывание, и оно истинно (1).
- Возьмем выражения 12 / 4 и 5. Соединим их: 12 / 4 = 5. Это высказывание, и оно ложно (0).
- Используем знак неравенства: (7 ⸺ 2) * 4 > 10. Это высказывание, так как 20 больше 10, и оно истинно.
Таким образом, соединив два числовых выражения знаками равенства или неравенства, вы создаете полноценное высказывание, подпадающее под законы математической логики.
Простые и составные высказывания
В логике также различают простые и составные высказывания.
- Простое высказывание — это высказывание, никакая часть которого сама не является высказыванием. (Например: «3 больше 2»).
- Составные высказывания строятся из простых с помощью логических связок: И, ИЛИ, НЕ. (Например: «3 больше 2 И 5 меньше 4» — составное высказывание, которое ложно, так как вторая его часть ложна).
Также стоит упомянуть о несовместимых высказываниях. Два высказывания называются несовместимыми, если не существует логической возможности, при которой оба высказывания были бы одновременно истинными, то есть при истинном значении одного из них другое обязательно будет ложным.