При изучении стереометрии в 10 классе одной из первых и самых важных тем является изучение аксиом. Именно на них строится всё здание пространственной геометрии. Вопрос о том, через любые три точки проходит плоскость и притом только одна, да или нет, является классическим и часто вызывает споры у школьников, а также регулярно встречается в тестах ЕГЭ и ОГЭ.
Давайте разберем этот утверждение максимально подробно, чтобы раз и навсегда избежать ошибок в подобных заданиях.
Короткий ответ
Если отвечать на вопрос буквально, как он сформулирован в заголовке, то правильный ответ — НЕТ; Утверждение в таком виде является неверным.
Однако, если добавить одно важнейшее уточнение, утверждение становится абсолютно верным и превращается в главную аксиому стереометрии. Давайте разберем, почему так происходит.
В чем кроется ошибка? Разбор утверждения
Ключевое слово в спорном утверждении — это слово «любые». Рассмотрим два возможных случая расположения трех точек в пространстве:
Три точки лежат на одной прямой
Представьте себе три точки A, B и C, которые расположены на одной прямой. Можно ли через них провести плоскость? Да, безусловно. Но будет ли она только одна?
Здесь вступает в силу другая аксиома стереометрии: если две точки прямой лежат в плоскости, то и все точки этой прямой лежат в данной плоскости. Это означает, что прямая, на которой лежат наши три точки, может принадлежать бесконечному множеству плоскостей, которые как бы «вращаются» вокруг этой прямой.
Следовательно, через три точки, лежащие на одной прямой, проходит бесконечно много плоскостей, а не одна. Именно поэтому утверждение «через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна» ошибочно.
Три точки НЕ лежат на одной прямой
А вот если точки A, B и C не лежат на одной прямой (то есть они образуют треугольник), то ситуация кардинально меняется. В этом случае через них действительно можно провести плоскость, и при том только одну.
Как звучит правильная аксиома?
Чтобы утверждение стало верным, необходимо добавить условие того, что точки не лежат на одной прямой. Правильная формулировка (основная аксиома стереометрии) звучит так:
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Именно это утверждение является фундаментальным и не подлежит сомнению. Из него вытекают важные следствия:
- Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.
- Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну.
Разбор типичных тестовых заданий
Подобные вопросы постоянно встречаются в контрольных работах и тестах по математике. Рассмотрим несколько примеров, чтобы научиться отвечать правильно:
Пример 1
Верно ли, что через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна?
Ответ: Нет. Как мы выяснили, если точки лежат на одной прямой, плоскостей будет бесконечно много.
Пример 2
Верно ли, что любые три точки лежат в одной плоскости?
Ответ: Да. Три точки (в любом их расположении) всегда принадлежат хотя бы одной плоскости. Если они на одной прямой — плоскостей бесконечно много, если не на одной прямой — плоскость единственная. Но плоскость всегда существует.
Пример 3
Через каждые три точки проведена одна плоскость. Сколько различных плоскостей при этом получилось, если точки не лежат на одной прямой?
Ответ: 1. Так как точки не лежат на одной прямой, аксиома гарантирует единственность плоскости.
Пример 4
Выберите верное утверждение:
- Через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна;
- Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости;
- Любые четыре точки не лежат в одной плоскости.
Ответ: Верно утверждение под номером 2 (это вторая аксиома стереометрии). Первое — неверно (нет условия о том, что точки не на одной прямой). Третье — неверно (четыре точки могут лежать в одной плоскости, если они принадлежат одной фигуре, например, квадрату).
Резюме
Запомнить правильный ответ очень легко. Слово «любые» в математике требует строгой проверки всех возможных случаев. Поскольку три точки могут оказаться на одной прямой, утверждение о единственности плоскости без этого ограничения становится ложным.
Поэтому на вопрос «Через любые три точки проходит плоскость и притом только одна — да или нет?» смело отвечайте «Нет», и обязательно поясните: «Потому что если эти три точки лежат на одной прямой, то через них проходит бесконечно много плоскостей. Верное утверждение должно звучать так: через любые три точки, НЕ лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна».